试题

题目：
设CD是直角三角形ABC的斜边AD上的高，I1、I2分别是△ADC、△BDC的内心，AC=3，BC=4，求I1I2．
答案
青果学院解：作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F，
在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=
AC2+BC2
= 5，
又CD⊥AB，由射影定理可得AD=
AC2
AB
=
9
5
，
故BD=AB-AD=
16
5
，CD=
AC2-AD2
=
12
5
，
因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，
所以I1E=
1
2
（AD+CD-AC）=
3
5
，
连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，
所以∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°，
故∠I1DI2=90°，
所以I1D⊥I2D，DI1=
I1E
sin∠ADI1
=
3
5
sin45°
=
3
2
5
，
同理，可求得I2F=
4
5
， DI2=
4
2
5
，
所以I1I2=
DI12+DI22
=
2
．
青果学院解：作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F，
在直角三角形ABC中，AC=3，BC=4，AB=
AC2+BC2
= 5，
又CD⊥AB，由射影定理可得AD=
AC2
AB
=
9
5
，
故BD=AB-AD=
16
5
，CD=
AC2-AD2
=
12
5
，
因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，
所以I1E=
1
2
（AD+CD-AC）=
3
5
，
连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，
所以∠I1DC=∠I1DA=∠I2DC=∠I2DB=45°，
故∠I1DI2=90°，
所以I1D⊥I2D，DI1=
I1E
sin∠ADI1
=
3
5
sin45°
=
3
2
5
，
同理，可求得I2F=
4
5
， DI2=
4
2
5
，
所以I1I2=
DI12+DI22
=
2
．
考点梳理
三角形的内切圆与内心；勾股定理；解直角三角形．
首先作I1E⊥AB于E，I2F⊥AB于F．在直角三角形ABC中，利用勾股定理求得AB的值，再运用射影定理求得AD、BD的长．因为I1E为直角三角形ACD的内切圆的半径，即可求得I1E的值．连接DI1、DI2，则DI1、DI2分别是∠ADC和∠BDC的平分线，利用垂直的定义，可得到I1D⊥I2D．利用在直角三角形中，直角边也对应角的关系，求得DI1、DI2的值，进而求得I1I2的值．
本题考查内切圆与内心、勾股定理、解直角三角形．解决本题的基本思路是首先求得两个内切圆I1、I2的半径，再利用勾股定理求得DI1、DI2，最后在证明I1D⊥I2D的基础上求得I1I2的值．
几何图形问题．
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