试题

题目：
青果学院（2011·常熟市模拟）如图，已知A（1，
3
），B（4，0），∠OAB的平分线AC交x轴于点C，则点C坐标为（　　）



答案
D
青果学院解：已知A（1，
3
），B（4，0），
∴OA=
(1-0)2+(
3
-0)2
=2，
AB=
(4-1)2+(0-
3
)2
=2
3
，
OB=4，
22+(2
3
)2=42，即：OA2+AB2=OB2，
∴△AOB为直角三角形，∠OAB=90°，
又OA=2，OB=4，
∴∠ABO=30°，
过点D作AO和AB的垂线分别交AO和AB于E、F，
∵∠OAB的平分线AC，
∴CE=CF，
△ACO和△ACB的面积和等于△AOB的面积，
则：
1
2
OA·CE+
1
2
AB·CF=
1
2
OA·AB，
∴CF+
3
CF=2
3
，
得：CF=3-
3
，
在直角三角形BFC中，
BC=
CF
sin30°
=
3-
3
1
2
=6-2
3
，
∴OC=OB-BC=4-（6-2
3
）=2
3
-2，
所以点C的坐标为：（2
3
-2，0），
故选：D．
考点梳理
解直角三角形；坐标与图形性质．
先由A（1，
3
），B（4，0）求出OA，AB，通过勾股定理逆定理得△AOB为直角三角形且∠ABO=30°，再过点D作AO和AB的垂线分别交AO和AB于E、F，由∠OAB的平分线AC得CE=CF，然后由
△ACO和△ACB的面积和等于△AOB的面积求出CF，在直角三角形BFC中，由三角函数求出BC，从而求出OC，即得点C的坐标．
此题考查的知识点是解直角三角形，关键是运用两点间的距离公式通过计算得出△AOB为直角三角形且∠ABO=30°，再运用三角形面积求出CF，利用直角三角形三角函数求解．
几何综合题．
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