试题

如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A在x轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OA、OC的
（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=

5

2

．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在线段BC上是否存在一点D，使得S_△ACD：S_△ABD=2：1？若存在，求出经过点D的反比例函数的解析式；若不存在，说明理由．
（3）如图2，一个动点P自OC的中点M出发，先到达x轴上的某点（设为点E），再到达抛物线对称轴上的某点（设为点F），最后运动到点C，求点P运动的最短路径长．

解：（1）∵线段OA、OC的长度（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的两个根，
∴解得：OA=1，CO=4，
∴A点坐标为：（-1，0），（0，4），
∵抛物线的对称轴是直线x=

5

2

，
∴-

b

2a

=

5

2

，
可得：

a-b+c=0 c=4 - b 2a = 5 2

，
解得：

a=- 2 3 b= 10 3 c=4

，
∴抛物线的解析式为：y=-

2

3

x²+

10

3

x+4；

（2）存在，
理由：连接ADAC，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，
∵S_△ACD：S_△ABD=2：1，D在线段BC上，
∴CD：BD=2：1，
由题意可得出：ED∥BO，
∴△CED∽△COB，
∴

CD

BC

=

ED

BO

，
∴

2

3

=

ED

6

，
解得：DE=4，
同理可得出：

DF

CO

=

BD

BC

=

1

3

，
∴DF=

4

3

，
∴D点坐标为：（4，

4

3

）
设经过点D的反比例函数的解析式为：y=

k

x

，
∵k=4×

4

3

=

16

3

，
∴反比例函数的解析式为：y=

16

3x

；

（3）做C点关于直线x=

5

2

的对称点C′，做M点关于x轴的对称点M′，连接C′M′．
则E、F分别为直线C′M′与x轴和抛物线对称轴的交点，此时C'M'即为点P运动的最短路径长，
则有C′（5，4），M′（0，-2）；
故点P运动的最短路径长=C'M'=

C′C2+M′C2

=

61

．
解：（1）∵线段OA、OC的长度（OA＜OC）是方程x²-5x+4=0的两个根，
∴解得：OA=1，CO=4，
∴A点坐标为：（-1，0），（0，4），
∵抛物线的对称轴是直线x=

5

2

，
∴-

b

2a

=

5

2

，
可得：

a-b+c=0 c=4 - b 2a = 5 2

，
解得：

a=- 2 3 b= 10 3 c=4

，
∴抛物线的解析式为：y=-

2

3

x²+

10

3

x+4；

（2）存在，
理由：连接ADAC，过点D作DE⊥y轴于点E，DF⊥x轴于点F，
∵S_△ACD：S_△ABD=2：1，D在线段BC上，
∴CD：BD=2：1，
由题意可得出：ED∥BO，
∴△CED∽△COB，
∴

CD

BC

=

ED

BO

，
∴

2

3

=

ED

6

，
解得：DE=4，
同理可得出：

DF

CO

=

BD

BC

=

1

3

，
∴DF=

4

3

，
∴D点坐标为：（4，

4

3

）
设经过点D的反比例函数的解析式为：y=

k

x

，
∵k=4×

4

3

=

16

3

，
∴反比例函数的解析式为：y=

16

3x

；

（3）做C点关于直线x=

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的对称点C′，做M点关于x轴的对称点M′，连接C′M′．
则E、F分别为直线C′M′与x轴和抛物线对称轴的交点，此时C'M'即为点P运动的最短路径长，
则有C′（5，4），M′（0，-2）；
故点P运动的最短路径长=C'M'=

C′C2+M′C2

=

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