试题

如图，已知半径为1的⊙O₁与x轴交于A，B两点，OM为⊙O₁的切线，切点为M，圆心O₁的坐标为（2，0），二次函数y=-x²+bx+c的图象经过A，B两点．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求出图中阴影部分的面积．
（3）求切线OM的函数解析式．
（4）线段OM上是否存在一点P，使得以P，O，A为顶点的三角形与△OO₁M相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵O₁的坐标为（2，0），O₁A=O₁B=1，
∴A（1，0），B（3，0），
∴抛物线解析式为：y=-（x-1）（x-3），即y=-x²+4x-3；

（2）∵OM为⊙O₁的切线，切点为M，
∴△OO₁M直角三角形，
又∵O₁M=1，O₁O=2，
∴∠O₁OM=30°，
则∠OO₁M=60°，
∴S_阴影部分=

60·π·12

360

=

π

6

；

（3）如图，过点M作MC⊥OB，垂足为C，
在Rt△OO₁M中，∠O₁OM=30°，OM=

3

，O₁M=1，
在Rt△OCM中，∠O₁OM=30°，则OC=OMcos30°=

3

2

，MC=OMsin30°=

3

2

，
则M（

3

2

，

3

2

），
设直线OM解析式为y=kx，则

3

2

=

3

2

k，解得k=

3

3

，
所以，切线OM的函数解析式为y=

3

3

x；

（4）存在，
如图，过A点作P₁A⊥OB交OM于P₁，作P₂A⊥OM，垂足为P₂，
在Rt△OAP₁中，OA=1，AP₁=OAtan30°=

3

3

，此时P₁（1，

3

3

），
∵AP₂△OO₁M中位线，∴P₂（

3

4

，

3

4

），
∴所求P点坐标为：（1，

3

3

）或（

3

4

，

3

4

）．
解：（1）∵O₁的坐标为（2，0），O₁A=O₁B=1，
∴A（1，0），B（3，0），
∴抛物线解析式为：y=-（x-1）（x-3），即y=-x²+4x-3；

（2）∵OM为⊙O₁的切线，切点为M，
∴△OO₁M直角三角形，
又∵O₁M=1，O₁O=2，
∴∠O₁OM=30°，
则∠OO₁M=60°，
∴S_阴影部分=

60·π·12

360

=

π

6

；

（3）如图，过点M作MC⊥OB，垂足为C，
在Rt△OO₁M中，∠O₁OM=30°，OM=

3

，O₁M=1，
在Rt△OCM中，∠O₁OM=30°，则OC=OMcos30°=

3

2

，MC=OMsin30°=

3

2

，
则M（

3

2

，

3

2

），
设直线OM解析式为y=kx，则

3

2

=

3

2

k，解得k=

3

3

，
所以，切线OM的函数解析式为y=

3

3

x；

（4）存在，
如图，过A点作P₁A⊥OB交OM于P₁，作P₂A⊥OM，垂足为P₂，
在Rt△OAP₁中，OA=1，AP₁=OAtan30°=

3

3

，此时P₁（1，

3

3

），
∵AP₂△OO₁M中位线，∴P₂（

3

4

，

3

4

），
∴所求P点坐标为：（1，

3

3

）或（

3

4

，

3

4

）．