试题

已知：如图13m、n是方程x²-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x²+bx+c的图象经过点A（m，0）、B（0，n）．
①求这个抛物线的解析式．
②设①中抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C、D的坐标和△BCD的面积；（注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)）

解：（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，有m=1，n=5，
所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．
将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=-x²+bx+c．
得：

-1+b+c=0 c=5

，
解这个方程组，得：

b=-4 c=5

；
所以，抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0，
解这个方程，得x₁=-5，x₂=1；
所以C点的坐标为（-5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S△DMC=

1

2

×9×(5-2)=

27

2

，
S梯形MDBO=

1

2

×2×(9+5)=14，
S△BOC=

1

2

×5×5=

25

2

，
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC-S△BOC=14+

27

2

-

25

2

=15．
解：（1）解方程x²-6x+5=0，
得x₁=5，x₂=1，
由m＜n，有m=1，n=5，
所以点A、B的坐标分别为A（1，0），B（0，5）．
将A（1，0），B（0，5）的坐标分别代入y=-x²+bx+c．
得：

-1+b+c=0 c=5

，
解这个方程组，得：

b=-4 c=5

；
所以，抛物线的解析式为y=-x²-4x+5；

（2）由y=-x²-4x+5，令y=0，得-x²-4x+5=0，
解这个方程，得x₁=-5，x₂=1；
所以C点的坐标为（-5，0）．由顶点坐标公式计算，得点D（-2，9）．
过D作x轴的垂线交x轴于M．
则S△DMC=

1

2

×9×(5-2)=

27

2

，
S梯形MDBO=

1

2

×2×(9+5)=14，
S△BOC=

1

2

×5×5=

25

2

，
所以，S△BCD=S梯形MDBO+S△DMC-S△BOC=14+

27

2

-

25

2

=15．