试题

如图甲，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=∠B=90°，AD=AB=6cm，BC=8cm．点E从点A出发沿AD方向以1厘米/秒的速度向终点D运动；点F从点C出发沿CA方向以2厘米/秒的速度向终点A运动．当点E、F中有一点运动到终点时，另一点也随之停止．设运动的时间为t秒．

（1）当t为何值时，△AEF和△ACD相似？
（2）连接BF，随着点E、F的运动，四边形ABFE可能是直角梯形？若可能，请求出t的值；若不能，请说明理由；
（3）当t为何值时，△AFE的面积最大，最大值是多少？

解：（1）在△ABC中，AC=

AB2+BC2

=10
若△AEF∽△ADC，则

AE

AD

=

AF

AC

∴

t

6

=

10-2t

10

解得：t=

30

11

若△AEF∽△ACD，则

AE

AC

=

AF

AD

∴

t

10

=

10-2t

6

解得：t=

50

13

答：当t为

30

11

秒或

50

13

秒时，△AEF与△ADC相似．

（2）若四边形ABFE是直角梯形，则△AEF∽△CBA
∴

t

8

=

10-2t

10

∴t=

40

13

答：当t为

40

13

时，四边形ABFE是直角梯形．

（3）过点E作EM⊥AC交于M，

则△AME∽△CBA
∴

AE

AC

=

ME

AB

∴

t

10

=

ME

6

∴ME=

3

5

t
∴S_△AEF=

1

2

AF·EM=

1

2

（10-2t）×

3

5

t=-

3

5

（t-

5

2

）²+

15

4

∴当t=

5

2

时，△AFE的面积最大，最大值是

15

4

cm²．
解：（1）在△ABC中，AC=

AB2+BC2

=10
若△AEF∽△ADC，则

AE

AD

=

AF

AC

∴

t

6

=

10-2t

10

解得：t=

30

11

若△AEF∽△ACD，则

AE

AC

=

AF

AD

∴

t

10

=

10-2t

6

解得：t=

50

13

答：当t为

30

11

秒或

50

13

秒时，△AEF与△ADC相似．

（2）若四边形ABFE是直角梯形，则△AEF∽△CBA
∴

t

8

=

10-2t

10

∴t=

40

13

答：当t为

40

13

时，四边形ABFE是直角梯形．

（3）过点E作EM⊥AC交于M，

则△AME∽△CBA
∴

AE

AC

=

ME

AB

∴

t

10

=

ME

6

∴ME=

3

5

t
∴S_△AEF=

1

2

AF·EM=

1

2

（10-2t）×

3

5

t=-

3

5

（t-

5

2

）²+

15

4

∴当t=

5

2

时，△AFE的面积最大，最大值是

15

4

cm²．