试题

如图矩形OABC，AB=2OA=2n，分别以OA和OC为x、y轴建立平面直角坐标系，连接OB，沿OB折叠，使点A落在P处．过P作PQ⊥y轴于Q．
（1）求OD：OA的值；
（2）以B为顶点的抛物线：y=ax²+bx+c，经过点D，与直线OB相交于E，过E作EF⊥y轴于F，试判断2·PQ·EF与矩形OABC面积的关系，并说明理由．

证明：（1）在矩形OABC中AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
根据题中的折叠得∠PBO=∠ABO，
∴∠PBO=∠BOC，
∴BD=DO，
设DO=k，则DB=k
在Rt△BCD中BC=n，DC=2n-k，BD=k
∴（2n-k）²+n²=k²，
∴OD=

5

4

n，OD：OA=

5

4

．

（2）设以B为顶点的抛物线为y=a（x-n）²+2n，
把D（0，n）代入，
得a=

-3

4n

，
∴y=

-3

4n

（x-n）²+2n=

-3

4n

x²+

3

2

x+

5

4

n，直线OB为y=2x，二者联立，
得E（-

5

3

n，-

10

3

n），
∴EF=

5

3

n，根据PQ⊥y轴于Q，∠BCO=90°，
得△BDC∽△PDQ，通过BD=OD=

5

4

n，
得PD=

3

4

n，
∴

PD

BD

=

3

5

=

PQ

PC

=

PQ

n

∴PQ=

3

5

n，
∴2·PQ·EF=2n²即矩形OABC面积．
证明：（1）在矩形OABC中AB∥OC，
∴∠ABO=∠BOC，
根据题中的折叠得∠PBO=∠ABO，
∴∠PBO=∠BOC，
∴BD=DO，
设DO=k，则DB=k
在Rt△BCD中BC=n，DC=2n-k，BD=k
∴（2n-k）²+n²=k²，
∴OD=

5

4

n，OD：OA=

5

4

．

（2）设以B为顶点的抛物线为y=a（x-n）²+2n，
把D（0，n）代入，
得a=

-3

4n

，
∴y=

-3

4n

（x-n）²+2n=

-3

4n

x²+

3

2

x+

5

4

n，直线OB为y=2x，二者联立，
得E（-

5

3

n，-

10

3

n），
∴EF=

5

3

n，根据PQ⊥y轴于Q，∠BCO=90°，
得△BDC∽△PDQ，通过BD=OD=

5

4

n，
得PD=

3

4

n，
∴

PD

BD

=

3

5

=

PQ

PC

=

PQ

n

∴PQ=

3

5

n，
∴2·PQ·EF=2n²即矩形OABC面积．