试题

题目：
如图，菱形OABC放在平面直角坐标系内，点A在x轴的正半轴上，点B在第一象限，其坐标为（8，4）青果学院．抛物线y=ax2+bx+c过点O、A、C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）将菱形向左平移，设抛物线与线段AB的交点为D，连接CD．
①当点C又在抛物线上时求点D的坐标；
②当△BCD是直角三角形时，求菱形的平移的距离．
答案
解：（1）过B作BE⊥OA于E，过C作CF⊥OA于F
青果学院
由B（8，4），菱形OABC
可得AB+AE=OA+AE=8，BE=4
又因为AE2+BE2=AB2
解得AO=AB=5（2分）
∴A（5，0）
∵OC=5，CF=BE=4，
由勾股定理得OF=3．
∴C（3，4）．
所以过O、A、C三点的抛物线解析式是y=-
2
3
x2+
10
3
x（2分）；

（2）①当y=4时，-
2
3
x2+
10
3
x=4
解得x1=3（舍去），x2=2（1分）．
所以菱形向左平移了1个单位长度直线AB也向左平移了1个单位长度
原直线AB为：y=
4
3
x-
20
3

则平移后的直线为y=
4
3
(x+1)-
20
3
=
4
3
x-
16
3
（1分）
此时点D的坐标为方程组
y=-
2
3
x2+
10
3
x
y=
4
3
x-
16
3
的解（1分）
可得点D坐标为（
3+
41
2
，
2
41
-10
3
）（1分）．
（点（
3-
41
2
，
-2
41
-10
3
）不合题意舍去）
②青果学院作CD⊥AB于D，作DH⊥BC于H，
则CD=CF=4，在直角△BCD中，BD=
BC2-CD2
=3，
则DH=
CD·CB
BC
=
12
5
，
当△BCD是直角三角形时，则点D到BC的距离是
12
5
，则点D的纵坐标为4-
12
5
=
8
5

当y=
8
5
时-
2
3
x2+
10
3
x=
8
5

解得x1=
25+
385
10
x2=
25-
385
10

原直线AB：y=
4
3
x-
20
3
上有一点（
31
5
，
8
5
）
所以菱形移动的距离为
37±
385
10
每对一个得（2分）．
解：（1）过B作BE⊥OA于E，过C作CF⊥OA于F
青果学院
由B（8，4），菱形OABC
可得AB+AE=OA+AE=8，BE=4
又因为AE2+BE2=AB2
解得AO=AB=5（2分）
∴A（5，0）
∵OC=5，CF=BE=4，
由勾股定理得OF=3．
∴C（3，4）．
所以过O、A、C三点的抛物线解析式是y=-
2
3
x2+
10
3
x（2分）；

（2）①当y=4时，-
2
3
x2+
10
3
x=4
解得x1=3（舍去），x2=2（1分）．
所以菱形向左平移了1个单位长度直线AB也向左平移了1个单位长度
原直线AB为：y=
4
3
x-
20
3

则平移后的直线为y=
4
3
(x+1)-
20
3
=
4
3
x-
16
3
（1分）
此时点D的坐标为方程组
y=-
2
3
x2+
10
3
x
y=
4
3
x-
16
3
的解（1分）
可得点D坐标为（
3+
41
2
，
2
41
-10
3
）（1分）．
（点（
3-
41
2
，
-2
41
-10
3
）不合题意舍去）
②青果学院作CD⊥AB于D，作DH⊥BC于H，
则CD=CF=4，在直角△BCD中，BD=
BC2-CD2
=3，
则DH=
CD·CB
BC
=
12
5
，
当△BCD是直角三角形时，则点D到BC的距离是
12
5
，则点D的纵坐标为4-
12
5
=
8
5

当y=
8
5
时-
2
3
x2+
10
3
x=
8
5

解得x1=
25+
385
10
x2=
25-
385
10

原直线AB：y=
4
3
x-
20
3
上有一点（
31
5
，
8
5
）
所以菱形移动的距离为
37±
385
10
每对一个得（2分）．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）过B作BE⊥OA于E，则可知OE=8，设菱形的边长是a，则AE=8-a，在直角△ABE中，根据勾股定理，就可以得到关于边长的方程，求出边长．则点O、A、C的坐标就可以求出．根据待定系数法就可以解得抛物线的解析式；
（2）①当点C又在抛物线上时，C点的坐标与原来的点的纵坐标相同，把y=4代入抛物线的解析式，就可以求出C点移动前后的坐标，A，B两点移动情况相同，因而A，B两点的移动后坐标可以求出，根据待定系数法就可以求出函数解析式，把这个解析式与抛物线的解析式组成方程组就可以求出D的坐标．
②当△BCD是直角三角形时点D到BC的距离可以求出，得到点D的纵坐标，代入抛物线的解析式就可以得到方程，解方程就可以求出D的坐标，得到菱形的平移的距离．
本题主要考查了待定系数法求函数的解析式．注意数与形的结合是解决本题的关键．
综合题；压轴题．
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