试题

（2005·泸州）如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴、y轴分别相交于A（-1，0）、B（3，0）、C（0，3）三点，其顶点为D．（1）求：经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
（2）求四边形ABDC的面积；
（3）试判断△BCD与△COA是否相似？若相似写出证明过程；若不相似，请说明理由．
注：抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）的顶点坐标为(-

b

2a

，

4ac-b2

4a

)．

解：（1）由题意，得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解之，得

a=-1 b=2 c=3

，
∴y=-x²+2x+3；

（2）由（1）可知y=-（x-1）²+4，
∴顶点坐标为D（1，4），
设其对称轴与x轴的交点为E，
∵S_△AOC=

1

2

|AO|·|OC|，
=

1

2

×1×3，
=

3

2

，（5分）
S_梯形OEDC=

1

2

（|DC|+|DE|）×|OE|，
=

1

2

（3+4）×1，
=

7

2

，
S_△DEB=

1

2

|EB|·|DE|，
=

1

2

×2×4，
=4，（7分）
S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△DEB，
=

3

2

+

7

2

+4，
=9；

（3）△DCB与△AOC相似，（9分）
证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F，
∵D（1，4），F（0，4），
∴Rt△DFC中，DC=

2

，且∠DCF=45°，
在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3

2

，
∴∠AOC=∠DCB=90°三角形相似，

DC

AO

=

BC

CO

=

2

1

，
∴△DCB∽△AOC．
解：（1）由题意，得

a-b+c=0 9a+3b+c=0 c=3

，
解之，得

a=-1 b=2 c=3

，
∴y=-x²+2x+3；

（2）由（1）可知y=-（x-1）²+4，
∴顶点坐标为D（1，4），
设其对称轴与x轴的交点为E，
∵S_△AOC=

1

2

|AO|·|OC|，
=

1

2

×1×3，
=

3

2

，（5分）
S_梯形OEDC=

1

2

（|DC|+|DE|）×|OE|，
=

1

2

（3+4）×1，
=

7

2

，
S_△DEB=

1

2

|EB|·|DE|，
=

1

2

×2×4，
=4，（7分）
S_{四边形ABDC}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△DEB，
=

3

2

+

7

2

+4，
=9；

（3）△DCB与△AOC相似，（9分）
证明：过点D作y轴的垂线，垂足为F，
∵D（1，4），F（0，4），
∴Rt△DFC中，DC=

2

，且∠DCF=45°，
在Rt△BOC中，∠OCB=45°，BC=3

2

，
∴∠AOC=∠DCB=90°三角形相似，

DC

AO

=

BC

CO

=

2

1

，
∴△DCB∽△AOC．