试题

（2005·日照）如图，△OAB是边长为4+2

3

的等边三角形，其中O是坐标原点，顶点B在y轴的正半轴上．将△OAB折叠，使点A与OB边上的点P重合，折痕与OA、AB的交点分别是E、F．如果PE∥x轴，
（1）求点P、E的坐标；
（2）如果抛物线y=-

1

2

x²+bx+c经过点P、E，求抛物线的解析式．

解：（1）设OP=x，则OE=2x，PE=

3

x．
根据折叠的性质可得AE=PE=

3

x，
则有OA=OE+AE=OE+PE=2x+

3

x=4+2

3

，
∴x=2，
∴OP=2，PE=2

3

，
因此P（0，2），E（2

3

，2）；

（2）将P、E坐标代入抛物线可得：

- 1 2 ×12+2 3 b+c=2 c=2

，
解得：

b= 3 c=2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

x+2．
解：（1）设OP=x，则OE=2x，PE=

3

x．
根据折叠的性质可得AE=PE=

3

x，
则有OA=OE+AE=OE+PE=2x+

3

x=4+2

3

，
∴x=2，
∴OP=2，PE=2

3

，
因此P（0，2），E（2

3

，2）；

（2）将P、E坐标代入抛物线可得：

- 1 2 ×12+2 3 b+c=2 c=2

，
解得：

b= 3 c=2

，
∴抛物线的解析式为y=-

1

2

x²+

3

x+2．