试题

已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A，抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过O、A两点．
（1）求点A的坐标，并用含a的代数式表示b；
（2）已知点C（1，5），点B是抛物线上一点，且四边形OABC为平行四边形，求此时抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，设点D是抛物线上且在直线OB下方的一个动点，当△OBD是等腰三角形时，符合条件的点D有几个？请求出其中一个点D的坐标．

解：（1）一次函数y=kx-4k，
令y=0，则x=4，
∴A（4，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过O、A两点，
∴

c=0 16a+4b+c=0

，
∴b=-4a．

（2）如图1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=4．
∵C（1，5），
∴B（5，5）
∵点B在抛物线y=ax²-4ax上，
∴5=25a-20a，
∴a=1．
∴y=x²-4x．

（3）符合条件的点D有2个．
如图2，作线段OB的中垂线，交抛物线于点D，
分别交OB、x轴于点E、F，
则OD=BD，点D为满足条件的一个点．
设点D的坐标为（x，x²-4x）．
则OD²=x²+（x²-4x）²，
BD²=（5-x）²+（5-x²+4x）²
∴x²+（x²-4x）²=（5-x）²+（5-x²+4x）²，
解得x=

3± 29

2

（负值舍去）．
∴D（

3+ 29

2

，

7- 29

2

）．
本小题也可通过求出直线EF的解析式后，进一步求与抛物线交点D的坐标．
解：（1）一次函数y=kx-4k，
令y=0，则x=4，
∴A（4，0）．
∵抛物线y=ax²+bx+c（a＞0）经过O、A两点，
∴

c=0 16a+4b+c=0

，
∴b=-4a．

（2）如图1，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC=4．
∵C（1，5），
∴B（5，5）
∵点B在抛物线y=ax²-4ax上，
∴5=25a-20a，
∴a=1．
∴y=x²-4x．

（3）符合条件的点D有2个．
如图2，作线段OB的中垂线，交抛物线于点D，
分别交OB、x轴于点E、F，
则OD=BD，点D为满足条件的一个点．
设点D的坐标为（x，x²-4x）．
则OD²=x²+（x²-4x）²，
BD²=（5-x）²+（5-x²+4x）²
∴x²+（x²-4x）²=（5-x）²+（5-x²+4x）²，
解得x=

3± 29

2

（负值舍去）．
∴D（

3+ 29

2

，

7- 29

2

）．
本小题也可通过求出直线EF的解析式后，进一步求与抛物线交点D的坐标．