试题

已知直线y=2x-4与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A，C和另一点B（-1，0）．
（1）求此抛物线的解析式，并画出它的图象；
（2）在直线AC上求一点P，使以点A，B，P为顶点的三角形与△AOC相似；
（3）设抛物线的顶点为M，在抛物线上是否存在点Q，使△ABQ的面积等于△AMC的面积的4倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）令x=0，则y=-4；令y=0，则2x-4=0，从而x=2，
∴A点坐标为（2，0），C点坐标为（0，-4）；
∵抛物线过点A（2，0），B（-1，0），
∴y=a（x-2）（x+1），（2分）
又抛物线过点C（0，-4），
∴a·（-2）×1=-4，
∴a=2；（3分）
∴所求抛物线的解析式为y=2（x-2）（x+1）=2x²-2x-4．（4分）
∵y=2x2-2x-4=2(x2-x+

1

4

-

1

4

)-4=2(x-

1

2

)2-

9

2

，
∴它的图象如图所示；（5分）

（2）∵△AOC是直角三角形，且|OA|=2，|OC|=4，
所作三角形必须是直角三角形，且两直角边的比是1：2；
①如图，过点B作BP₁⊥x轴，交直线AC于P₁，（6分）
则由BP₁∥OC知Rt△ABP₁∽Rt△AOC；
∴P₁点的横坐标是-1，
∴P₁点的纵坐标是y=2×（-1）-4=-6；
∴P₁点的坐标是（-1，-6）．（7分）
②∵|OA|=2，|OC|=4，
∴|AC|=

|OA|2+|OC|2

=

22+42

=2

5

；
作BP₂⊥AC于P₂，如图，（8分）
∵∠AOC=90°，∠AP₂B=90°，又∠CAO=∠BAP₂，
∴Rt△AOC∽Rt△AP₂B；
∴

|AB|

|AC|

=

|AP2|

|OA|

，
∴|AP2|=

|AB|·|OA|

|AC|

=

3×2

2 5

=

3 5

5

；
作P₂H⊥AB于H，则Rt△AP₂H∽Rt△ABP₂；
∴

|AP2|

|AB|

=

|AH|

|AP2|

，
∴|AH|=

|AP2|2

|AB|

=

( 3 5 )2

3

=

9

5×3

=

3

5

；
∴|OH|=|OA|-|AH|=2-

3

5

=

7

5

；（9分）
把x=

7

5

代入y=2x-4，得y=2×

7

5

-4=-

6

5

；
∴P₂点的坐标为(

7

5

，-

6

5

)；
∴在直线AC上存在两点P₁（-1，-6），P2(

7

5

，-

6

5

)，使△ABP与△AOC相似．（10分）

（3）∵抛物线的顶点是(

1

2

，-

9

2

)，
∴它的对称轴是直线x=

1

2

．（11分）
假设在抛物线y=2x²-2x-4上存在点Q，使S_△ABQ=4S_△AMC；
设点Q的坐标为（x₀，y₀），对称轴与x轴交于F(

1

2

，0)，
则S_△AMC=S_{四边形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△AOC
=

1

2

×

3

2

×

9

2

+

1

2

×(4+

9

2

)×

1

2

-

1

2

×2×4=

27

8

+

17

8

-4=

3

2

；（12分）
又△ABQ的面积S_△ABQ满足S_△ABQ=4S_△AMC
∴

1

2

×|AB|×|y0|=4×

3

2

∴

1

2

×3×|y0|=6，
∴|y₀|=4，
∴y₀=±4；（13分）
当y₀=4时，2x²-2x-4=4，即x²-x-4=0，
解之得x=

1± 17

2

；
当y₀=-4时，2x²-2x-4=-4即2x²-2x=0，
解之得x=0或x=1；
因此，在抛物线y=2x²-2x-4上存在点Q，使S_△ABQ=4S_△AMC，此时点Q的坐标为(

1+ 17

2

，4)，(

1- 17

2

，4)，
（0，-4），（1，-4）．（14分）
（注：表示“线段的长”不用“||”号，均不扣分）
解：（1）令x=0，则y=-4；令y=0，则2x-4=0，从而x=2，
∴A点坐标为（2，0），C点坐标为（0，-4）；
∵抛物线过点A（2，0），B（-1，0），
∴y=a（x-2）（x+1），（2分）
又抛物线过点C（0，-4），
∴a·（-2）×1=-4，
∴a=2；（3分）
∴所求抛物线的解析式为y=2（x-2）（x+1）=2x²-2x-4．（4分）
∵y=2x2-2x-4=2(x2-x+

1

4

-

1

4

)-4=2(x-

1

2

)2-

9

2

，
∴它的图象如图所示；（5分）

（2）∵△AOC是直角三角形，且|OA|=2，|OC|=4，
所作三角形必须是直角三角形，且两直角边的比是1：2；
①如图，过点B作BP₁⊥x轴，交直线AC于P₁，（6分）
则由BP₁∥OC知Rt△ABP₁∽Rt△AOC；
∴P₁点的横坐标是-1，
∴P₁点的纵坐标是y=2×（-1）-4=-6；
∴P₁点的坐标是（-1，-6）．（7分）
②∵|OA|=2，|OC|=4，
∴|AC|=

|OA|2+|OC|2

=

22+42

=2

5

；
作BP₂⊥AC于P₂，如图，（8分）
∵∠AOC=90°，∠AP₂B=90°，又∠CAO=∠BAP₂，
∴Rt△AOC∽Rt△AP₂B；
∴

|AB|

|AC|

=

|AP2|

|OA|

，
∴|AP2|=

|AB|·|OA|

|AC|

=

3×2

2 5

=

3 5

5

；
作P₂H⊥AB于H，则Rt△AP₂H∽Rt△ABP₂；
∴

|AP2|

|AB|

=

|AH|

|AP2|

，
∴|AH|=

|AP2|2

|AB|

=

( 3 5 )2

3

=

9

5×3

=

3

5

；
∴|OH|=|OA|-|AH|=2-

3

5

=

7

5

；（9分）
把x=

7

5

代入y=2x-4，得y=2×

7

5

-4=-

6

5

；
∴P₂点的坐标为(

7

5

，-

6

5

)；
∴在直线AC上存在两点P₁（-1，-6），P2(

7

5

，-

6

5

)，使△ABP与△AOC相似．（10分）

（3）∵抛物线的顶点是(

1

2

，-

9

2

)，
∴它的对称轴是直线x=

1

2

．（11分）
假设在抛物线y=2x²-2x-4上存在点Q，使S_△ABQ=4S_△AMC；
设点Q的坐标为（x₀，y₀），对称轴与x轴交于F(

1

2

，0)，
则S_△AMC=S_{四边形AOCM}-S_△AOC=S_△AFM+S_梯形FOCM-S_△AOC
=

1

2

×

3

2

×

9

2

+

1

2

×(4+

9

2

)×

1

2

-

1

2

×2×4=

27

8

+

17

8

-4=

3

2

；（12分）
又△ABQ的面积S_△ABQ满足S_△ABQ=4S_△AMC
∴

1

2

×|AB|×|y0|=4×

3

2

∴

1

2

×3×|y0|=6，
∴|y₀|=4，
∴y₀=±4；（13分）
当y₀=4时，2x²-2x-4=4，即x²-x-4=0，
解之得x=

1± 17

2

；
当y₀=-4时，2x²-2x-4=-4即2x²-2x=0，
解之得x=0或x=1；
因此，在抛物线y=2x²-2x-4上存在点Q，使S_△ABQ=4S_△AMC，此时点Q的坐标为(

1+ 17

2

，4)，(

1- 17

2

，4)，
（0，-4），（1，-4）．（14分）
（注：表示“线段的长”不用“||”号，均不扣分）