试题

已知如图，抛物线y=ax²+bx-a的图象与x轴交于A、B两点，点A在点B的左边，顶点坐标为C（0，-4），直线x=m（m＞1）与x轴交于点D．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线x=m（m＞1）上有一点P（点P在第一象限），使得以P、D、B为顶点的三角形与以B、C、O为顶点的三角形相似，求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）成立的条件下，试问：抛物线y=ax²+bx-a是否存在一点Q，使得四边形ABPQ为平行四边形？如果存在这样的点Q，请求出m的值；如果不存在，请简要说明理由．

解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-a的顶点坐标为C（0，-4），
∴b=0，a=4；
∴抛物线的解析式为y=4x²-4．（2分）

（2）设P（m，n），由4x²-4=0，
∴x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0）；
∵△OBC∽△PBD，
若∠OCB=∠PBD，则

OB

PD

=

OC

BD

，
∴

1

n

=

4

m-1

，
∴n=

1

4

(m-1)，
此时P(m，

m-1

4

)；（4分）
若∠OCB=∠BPD，则

OB

BD

=

OC

PD

，
∴

1

m-1

=

4

n

；
∴n=4（m-1），
此时P（m，4（m-1））．（6分）

（3）假设抛物线存在点Q（x，y）使四边形ABPQ为平行四边形，
当P（m，4m-4）时，AP的中点R的坐标为：R(

m-1

2

，2(m-1))，
又∵R又是BQ的中点，
∴

x=m-2 y=4(m-1)

，Q（m-2，4（m-1））；
∵Q在抛物线上，
∴4（m-1）=4（m-2）²-4，
∴m-1=m²-4m+4-1，
∴m²-5m+4=0，
∴m=4或m=1（舍去）；（8分）
当P点坐标为(m，

m-1

4

)时，
同理，R(

m-1

2

，

m-1

8

)，Q(m-2，

m-1

4

)；
∵点Q在抛物线上，
∴

m-1

4

=4·(m-2)2-4；
∴16m²-65m+49=0，m=

49

16

或m=1（舍去）；（10分）
∴当m=4或

49

16

时，AP与BQ互相平分，四边形ABPQ是平行四边形；
∴m=4或

49

16

为所求．（11分）
（3）另解：可用AB=PQ=2，
∴Q(m-2，

m-1

4

)或Q（m-2，4（m-1）），
∵点Q在抛物线上，
或4（m-2）²-4=4（m-1）；
解之m=

49

16

或m=1，或m=4或m=1，
∵m＞1，
∴m=4或

49

16

．
解：（1）∵抛物线y=ax²+bx-a的顶点坐标为C（0，-4），
∴b=0，a=4；
∴抛物线的解析式为y=4x²-4．（2分）

（2）设P（m，n），由4x²-4=0，
∴x=±1，
∴A（-1，0），B（1，0）；
∵△OBC∽△PBD，
若∠OCB=∠PBD，则

OB

PD

=

OC

BD

，
∴

1

n

=

4

m-1

，
∴n=

1

4

(m-1)，
此时P(m，

m-1

4

)；（4分）
若∠OCB=∠BPD，则

OB

BD

=

OC

PD

，
∴

1

m-1

=

4

n

；
∴n=4（m-1），
此时P（m，4（m-1））．（6分）

（3）假设抛物线存在点Q（x，y）使四边形ABPQ为平行四边形，
当P（m，4m-4）时，AP的中点R的坐标为：R(

m-1

2

，2(m-1))，
又∵R又是BQ的中点，
∴

x=m-2 y=4(m-1)

，Q（m-2，4（m-1））；
∵Q在抛物线上，
∴4（m-1）=4（m-2）²-4，
∴m-1=m²-4m+4-1，
∴m²-5m+4=0，
∴m=4或m=1（舍去）；（8分）
当P点坐标为(m，

m-1

4

)时，
同理，R(

m-1

2

，

m-1

8

)，Q(m-2，

m-1

4

)；
∵点Q在抛物线上，
∴

m-1

4

=4·(m-2)2-4；
∴16m²-65m+49=0，m=

49

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或m=1（舍去）；（10分）
∴当m=4或

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时，AP与BQ互相平分，四边形ABPQ是平行四边形；
∴m=4或

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为所求．（11分）
（3）另解：可用AB=PQ=2，
∴Q(m-2，

m-1

4

)或Q（m-2，4（m-1）），
∵点Q在抛物线上，
或4（m-2）²-4=4（m-1）；
解之m=

49

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或m=1，或m=4或m=1，
∵m＞1，
∴m=4或

49

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