试题

如图，已知矩形ABCD中AB：BC=3：1，点A、B在x轴上，直线y=mx+n（m＜n＜

1

2

且n≠0），过点A、C交y轴于点E，S_△AOE=

9

8

S_矩形ABCD，抛物线y=ax²+bx+c过点A、B，且顶点G在直线y=mx+n上，抛物线与y轴交于点F．
（1）求点A、B的坐标（用n表示）；
（2）求代数式abc的值；
（3）求S_△AGF的范围．

解：（1）直线AE中，y=mx+n，则E（0，n）；
∵AB=3BC，则tan∠CAB=

1

3

，
∴OA=3OE=3n，即A（-3n，0）；
△AOE中，AO=3n，OE=n，则S_△AOE=

1

2

OA·OE=

3n2

2

；
矩形ABCD中，AB=3BC，则S_矩形ABCD=AB·BC=

1

3

AB²；
∵S_△AOE=

9

8

S_矩形ABCD，
∴

3

2

n²=

9

8

×

1

3

AB²，即AB=2n，
故OB=OA-AB=n，即B（-n，0）；
∴A（-3n，0），B（-n，0）．

（2）∵G是抛物线的顶点，且A（-3n，0），B（-n，0），
∴G点的横坐标为-2n；
易知G是线段AC的中点，故AB=3BC=6y_G，
∴G点的纵坐标为

1

3

n；
即G（-2n，

1

3

n）；
设抛物线的解析式为y=a（x+2n）²+

1

3

n，将A（-3n，0）代入上式，得：
a×n²+

1

3

n=0，即a=-

1

3n

；
∴y=-

1

3n

（x+2n）²+

1

3

n=-

1

3n

x²-

4

3

x-n；
故abc=（-

1

3n

）×（-

4

3

）×（-n）=-

4

9

．

（3）根据（2）得到的抛物线解析式，易知F（0，-n）；
∵E（0，n），A（-3n，0），G（-2n，

1

3

n），n≠0，
∴S_△AEF=

1

2

EF·OA=3n²，S_△EGF=

1

2

EF·|x_G|=2n²，
∴S_△AGF=S_△AEF-S_△EGF=3n²-2n²=n²，
故S_△AGF的范围为：

1

9

＜S_△AGF＜

1

4

．
解：（1）直线AE中，y=mx+n，则E（0，n）；
∵AB=3BC，则tan∠CAB=

1

3

，
∴OA=3OE=3n，即A（-3n，0）；
△AOE中，AO=3n，OE=n，则S_△AOE=

1

2

OA·OE=

3n2

2

；
矩形ABCD中，AB=3BC，则S_矩形ABCD=AB·BC=

1

3

AB²；
∵S_△AOE=

9

8

S_矩形ABCD，
∴

3

2

n²=

9

8

×

1

3

AB²，即AB=2n，
故OB=OA-AB=n，即B（-n，0）；
∴A（-3n，0），B（-n，0）．

（2）∵G是抛物线的顶点，且A（-3n，0），B（-n，0），
∴G点的横坐标为-2n；
易知G是线段AC的中点，故AB=3BC=6y_G，
∴G点的纵坐标为

1

3

n；
即G（-2n，

1

3

n）；
设抛物线的解析式为y=a（x+2n）²+

1

3

n，将A（-3n，0）代入上式，得：
a×n²+

1

3

n=0，即a=-

1

3n

；
∴y=-

1

3n

（x+2n）²+

1

3

n=-

1

3n

x²-

4

3

x-n；
故abc=（-

1

3n

）×（-

4

3

）×（-n）=-

4

9

．

（3）根据（2）得到的抛物线解析式，易知F（0，-n）；
∵E（0，n），A（-3n，0），G（-2n，

1

3

n），n≠0，
∴S_△AEF=

1

2

EF·OA=3n²，S_△EGF=

1

2

EF·|x_G|=2n²，
∴S_△AGF=S_△AEF-S_△EGF=3n²-2n²=n²，
故S_△AGF的范围为：

1

9

＜S_△AGF＜

1

4

．