如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴的相交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C，且S△BOC=frac{9}{2}．（1）求抛物线和直线BC的函数解析式；（2）设P直线BC-青果题库-青果学院

题目：

如图，已知抛物线y=-x²+bx+c与x轴的相交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C，且S_△BOC=

9

2

．

（1）求抛物线和直线BC的函数解析式；
（2）设P直线BC上的动点、Q是抛物线上的动点．问：是否存在以C、P、Q为顶点的三角形，使得它与△BOC相似？若存在，请直接写出线段PQ的长；若不存在，请说明理由；
（3）在上述条件下，把直线BC绕C旋转．当直线与抛物线只有一个公共点时，求OP的最小值．

答案

解：（1）∵抛物线y=-x²+bx+c与x轴的相交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C；
∴OB=3，OC=c，-3²+3b+c=0，
∵S_△BOC=

1

2

OB·OC=

9

2

，
∴c=3，b=2；
∴抛物线的函数解析式为：y=-x²+2x+3；（2分）
设直线BC的函数解析式为y=kx+m，
则

0=3k+m

3=m

，
∴

k=-1

m=3

∴直线BC的函数解析式为y=-x+3．（4分）

（2）由于OB=OC=3，则△OBC是等腰直角三角形，
若C、P、Q为顶点的三角形与△BOC相似，则△CPQ也必为等腰直角三角形，
①过C作直线CQ⊥BC，交抛物线于Q；
易知C（0，3），且直线BC：y=-x+3；
故直线CQ：y=x+3，联立抛物线的解析式有：

y=x+3

y=-x2+2x+3

，
解得

x=0

y=3

，

x=1

y=4

；
故Q（1，4），CQ=

2

；
则PQ=

2

CQ=2；

②过C作直线CQ∥x轴，交抛物线于Q；
则Q（2，3），CQ=2；
当Q为直角顶点时，PQ=CQ=2；
当P为直角顶点时，PQ=

2

CQ=

2

；
综上可知：存在以C、P、Q为顶点的三角形，使得它与△BOC相似；PQ的长为：PQ=

2

或2．（6分）

（3）OP=1．
在上述条件下，把直线BC绕C旋转；当直线与抛物线只有一个公共点时，则公共点为C（0，3）（有两种情况）
①直线BC与y轴重合时，显然，OP=1；（7分）
②直线BC与y轴重合时，设直线BC绕C旋转后的直线B′C函数解析式为：（B′为直线B′C与x轴的交点）y=kx+3，
把y=kx+3代入y=-x²+2x+3中得：
kx+3=-x²+2x+3，
整理得x²+（k-2）x=0，
∴△=（k-2）²=0，
∴k=2，
∴设直线B′C的函数解析式为：y=2x+3；（8分）青果学院

令y=0，则2x+3=0，得x=-

3

2

，
∴B′（-

3

2

，0），
∴OB′=

3

2

；
作OP⊥CB′于点P，此时OP的值最小；（10分）
此时，CB′·OP=OB′·OC，
∵OB′=

3

2

，OC=3，
CB′=

(

3

2

)2+32

=

3

2

5

，
∴OP=

3

5

；（11分）
综上得，OP=1．（12分）
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