试题

已知如图抛物线y=x²-2x-3与x轴交于A、B两点（A在B的左侧）与y轴交于C点，顶点为D．
（1）求出A、B、C、D四点坐标；
（2）判断△AOC与△BCD是否相似，并说明理由；
（3）过C作直线CE平行x轴交抛物线另一个交点为E，动点F从C点开始，以每秒

2

个单位的速度沿CF方向在射线CE上运动，动点G从B点开始以每秒4个单位速度沿BC方向在射线BC上运动．设动点F、G同时出发运动时间为t，问在抛物线上是否存在点H；使以C、G、H、F四点为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出相应t的值和H的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）令y=0，即x²-2x-3=0，则x=3，x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，即y=-3，
∴C（0，-3）；
由于y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
故顶点D（1，-4）．

（2）相似，理由如下：
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴OA=1，OC=3，AC=

10

；
CD=

2

，BC=3

2

，BD=2

5

；
∴

CD

OA

=

BC

OC

=

BD

AC

=

2

，
故△AOC∽△DCB．

（3）分别过C、F、G作FG、CG、CF的平行线，三线交于H₁、H₂、H₃（如图）；
则四边形CFGH₁、四边形CFH₂G、四边形H₃FGC都是平行四边形；
过G作GM⊥x轴于M；
由于OB=OC=3，则∠OBC=45°；
易知BG=4t，则BM=MG=2

2

t，OM=3-2

2

t；
故G（3-2

2

t，-2

2

t）；
由于四边形CFGH₁、四边形CFH₂G都是平行四边形，
故H₁G=GH₂=CF=

2

t，
∴H₁（3-3

2

t，-2

2

t），H₂（3-

2

t，-2

2

t）；
把H₁代入抛物线的解析式中得：
（3-3

2

t）²-2（3-3

2

t）-3=-2

2

t，
即9t²-5

2

t=0；
解得t=0（舍去），t=

5 2

9

；
当t=

5 2

9

时，H₁（-

1

3

，-

20

9

）；
把H₂代入抛物线的解析式中得：
（3-

2

t）²-2（3-

2

t）-3=-2

2

t，
即t²-

2

t=0；
解得t=0（舍去），t=

2

；
当t=

2

时，H₂（1，-4）；
过G作GP⊥y轴于P，过H₃作H₃Q⊥y轴于Q；
则有H₃Q=GP-CF=3-2

2

t-

2

t=3-3

2

t，CQ=CP=3-2

2

t；
∴OQ=OC+CQ=6-2

2

t；
∴H₃（3

2

t-3，2

2

t-6）；
将H₃代入抛物线的解析式中，有：
（3

2

t-3）²-2（3

2

t-3）-3=2

2

t-6，
即9t²-13

2

t+9=0，
解得t=

13 2 ± 14

18

；
当t=

13 2 + 14

18

时，H₃（

4+ 7

3

，

2 7 -28

9

）；
当t=

13 2 - 14

18

时，H₄（

4- 7

3

，

-2 7 -28

9

）．
故存在符合条件的H点，且：
当t=

5 2

9

时，H₁（-

1

3

，-

20

9

）；
当t=

2

时，H₂（1，-4）；
当t=

13 2 + 14

18

时，H₃（

4+ 7

3

，

2 7 -28

9

）；
当t=

13 2 - 14

18

时，H₄（

4- 7

3

，

-2 7 -28

9

）．
解：（1）令y=0，即x²-2x-3=0，则x=3，x=-1，
∴A（-1，0），B（3，0）；
令x=0，即y=-3，
∴C（0，-3）；
由于y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
故顶点D（1，-4）．

（2）相似，理由如下：
∵A（-1，0），B（3，0），C（0，-3），D（1，-4），
∴OA=1，OC=3，AC=

10

；
CD=

2

，BC=3

2

，BD=2

5

；
∴

CD

OA

=

BC

OC

=

BD

AC

=

2

，
故△AOC∽△DCB．

（3）分别过C、F、G作FG、CG、CF的平行线，三线交于H₁、H₂、H₃（如图）；
则四边形CFGH₁、四边形CFH₂G、四边形H₃FGC都是平行四边形；
过G作GM⊥x轴于M；
由于OB=OC=3，则∠OBC=45°；
易知BG=4t，则BM=MG=2

2

t，OM=3-2

2

t；
故G（3-2

2

t，-2

2

t）；
由于四边形CFGH₁、四边形CFH₂G都是平行四边形，
故H₁G=GH₂=CF=

2

t，
∴H₁（3-3

2

t，-2

2

t），H₂（3-

2

t，-2

2

t）；
把H₁代入抛物线的解析式中得：
（3-3

2

t）²-2（3-3

2

t）-3=-2

2

t，
即9t²-5

2

t=0；
解得t=0（舍去），t=

5 2

9

；
当t=

5 2

9

时，H₁（-

1

3

，-

20

9

）；
把H₂代入抛物线的解析式中得：
（3-

2

t）²-2（3-

2

t）-3=-2

2

t，
即t²-

2

t=0；
解得t=0（舍去），t=

2

；
当t=

2

时，H₂（1，-4）；
过G作GP⊥y轴于P，过H₃作H₃Q⊥y轴于Q；
则有H₃Q=GP-CF=3-2

2

t-

2

t=3-3

2

t，CQ=CP=3-2

2

t；
∴OQ=OC+CQ=6-2

2

t；
∴H₃（3

2

t-3，2

2

t-6）；
将H₃代入抛物线的解析式中，有：
（3

2

t-3）²-2（3

2

t-3）-3=2

2

t-6，
即9t²-13

2

t+9=0，
解得t=

13 2 ± 14

18

；
当t=

13 2 + 14

18

时，H₃（

4+ 7

3

，

2 7 -28

9

）；
当t=

13 2 - 14

18

时，H₄（

4- 7

3

，

-2 7 -28

9

）．
故存在符合条件的H点，且：
当t=

5 2

9

时，H₁（-

1

3

，-

20

9

）；
当t=

2

时，H₂（1，-4）；
当t=

13 2 + 14

18

时，H₃（

4+ 7

3

，

2 7 -28

9

）；
当t=

13 2 - 14

18

时，H₄（

4- 7

3

，

-2 7 -28

9

）．