试题

如图，已知A（2，4），以A为顶点的抛物线经过原点交x轴于B．
（1）求抛物线解析式；
（2）取OA上一点D，以OD为直径作⊙C交x轴于E，作EF⊥AB于F，求证EF是⊙C的切线；
（3）设⊙C半径为r，EF=m，求m与r的函数关系式及自变量r的取值范围；
（4）当⊙C与AB相切时，求⊙C半径r的值．

解：（1）设y=a（x-2）²+4，由于抛物线过原点（0，0），则有
0=4a+4，
即a=-1．
因此抛物线的解析式为：y=-x²+4x．

（2）连CE，则∠COE=∠CEO，
根据A是抛物线的顶点，可知OA=AB，即∠AOB=∠OBA．
∴∠OEC=∠ABO．
∴CE∥AB，又EF⊥AB，
∴CE⊥EF
∴EF是⊙C的切线．

（3）分别过C、A作OB的垂线，垂足分别为M、N，
直角三角形OAN中，cos∠AOB=

5

5

，
因此：OM=

5

5

r，OE=2OM=

2 5

5

r，EB=4-

2 5

5

r
∴m=-

4

5

r+

8 5

5

（0＜r＜

5

）；

（4）设⊙C切AB于点G
连接CG，则CG⊥AB
∴∠CGF=∠EFG=∠CEF=90°
∴四边形CEFG为矩形
又CE=CG
∴四边形CEFG为正方形
∴EF=r
∴m=r①
由（3）得m=-

4

5

r+

8 5

5

，
解得r=

8 5

9

．
解：（1）设y=a（x-2）²+4，由于抛物线过原点（0，0），则有
0=4a+4，
即a=-1．
因此抛物线的解析式为：y=-x²+4x．

（2）连CE，则∠COE=∠CEO，
根据A是抛物线的顶点，可知OA=AB，即∠AOB=∠OBA．
∴∠OEC=∠ABO．
∴CE∥AB，又EF⊥AB，
∴CE⊥EF
∴EF是⊙C的切线．

（3）分别过C、A作OB的垂线，垂足分别为M、N，
直角三角形OAN中，cos∠AOB=

5

5

，
因此：OM=

5

5

r，OE=2OM=

2 5

5

r，EB=4-

2 5

5

r
∴m=-

4

5

r+

8 5

5

（0＜r＜

5

）；

（4）设⊙C切AB于点G
连接CG，则CG⊥AB
∴∠CGF=∠EFG=∠CEF=90°
∴四边形CEFG为矩形
又CE=CG
∴四边形CEFG为正方形
∴EF=r
∴m=r①
由（3）得m=-

4

5

r+

8 5

5

，
解得r=

8 5

9

．