试题

如图，经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）交y轴的正半轴于点C，设抛物线的顶点为D．
（1）用含a的代数式表示出点C、D的坐标；
（2）若∠BCD=90°，请确定抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，能否在抛物线上找到另外的点Q，使△BDQ为直角三角形？如果能，请直接写出点Q的坐标；如不能，说明理由．

解：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
则

b=-2a c=-3a

；
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a；
故D（1，-4a），C（0，-3a）．

（2）由于B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），则：
BD²=16a²+4，BC2=9a²+9，CD²=a²+1；
若∠BCD=90°，则：BD²=BC²+CD²，即：
16a²+4=9a²+9+a²+1，
解得a=-1（正值舍去），
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．

（3）易知C（0，3），D（1，4）；
而B（3，0），
则直线BD：y=-2x+6；
①∠BDQ=90°，可设直线DQ：y=

1

2

x+m，则有：

1

2

+m=4，m=

7

2

；
即y=

1

2

x+

7

2

；
联立抛物线的解析式有：

y= 1 2 x+ 7 2 y=-x2+2x+3

，
解得

x= 1 2 y= 15 4

，

x=1 y=4

；
∴点Q（

1

2

，

15

4

）；
②∠DBQ=90°，同理可设直线BQ：y=

1

2

x+n，
则：

3

2

+n=0，n=-

3

2

，
即y=

1

2

x-

3

2

；
联立抛物线的解析式有：

y= 1 2 x- 3 2 y=-x2+2x+3

，
解得

x=- 3 2 y=- 9 4

，

x=1 y=4

；
∴点Q（-

3

2

，-

9

4

）；
综上可知，存在符合条的Q点，且坐标为：Q1(-

3

2

，-

9

4

)，Q2(

1

2

，

15

4

)．
解：（1）将A、B的坐标代入抛物线的解析式中，得：

a-b+c=0 9a+3b+c=0

，
则

b=-2a c=-3a

；
∴y=ax²-2ax-3a=a（x-1）²-4a；
故D（1，-4a），C（0，-3a）．

（2）由于B（3，0），C（0，-3a），D（1，-4a），则：
BD²=16a²+4，BC2=9a²+9，CD²=a²+1；
若∠BCD=90°，则：BD²=BC²+CD²，即：
16a²+4=9a²+9+a²+1，
解得a=-1（正值舍去），
故抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3．

（3）易知C（0，3），D（1，4）；
而B（3，0），
则直线BD：y=-2x+6；
①∠BDQ=90°，可设直线DQ：y=

1

2

x+m，则有：

1

2

+m=4，m=

7

2

；
即y=

1

2

x+

7

2

；
联立抛物线的解析式有：

y= 1 2 x+ 7 2 y=-x2+2x+3

，
解得

x= 1 2 y= 15 4

，

x=1 y=4

；
∴点Q（

1

2

，

15

4

）；
②∠DBQ=90°，同理可设直线BQ：y=

1

2

x+n，
则：

3

2

+n=0，n=-

3

2

，
即y=

1

2

x-

3

2

；
联立抛物线的解析式有：

y= 1 2 x- 3 2 y=-x2+2x+3

，
解得

x=- 3 2 y=- 9 4

，

x=1 y=4

；
∴点Q（-

3

2

，-

9

4

）；
综上可知，存在符合条的Q点，且坐标为：Q1(-

3

2

，-

9

4

)，Q2(

1

2

，

15

4

)．