试题

已知：抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上；线段OB，OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x=-2．
（1）求此抛物线的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE．当△CEF的面积最大时，求点E的坐标，并求此时面积的最大值；
（3）若平行于x轴的动直线l与该抛物线交于点P，与直线AC交于点Q，点D的坐标为（-3，0）．问：是否存在这样的直线l，使得△ODQ是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8．
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）．
又∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴可设抛物线的表达式为y=a（x+2）²+k．
∵点B（2，0），C（0，8）在抛物线上，
解得a=-

2

3

，k=

32

3

，
∴所求抛物线的表达式为y=-

2

3

(x+2)2+

32

3

=-

2

3

x2-

8

3

x+8．

（2）设点E的坐标为（m，0），过点F作FG⊥x轴（AB），垂足为点G．
由（1）可得，点A的坐标为（-6，0）．
∴AB=8，EB=2-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

BE

BA

=

FG

CO

，
即

2-m

8

=

FG

8

，
∴FG=2-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

(2-m)×8-

1

2

(2-m)×(2-m)=-

1

2

(m2+4m-12)=-

1

2

(m+2)2+8．
自变量m的取值范围是-6＜m＜2，
∴当m=-2时，S有最大值，S最大值=8．
∴点E的坐标为（-2，0）．

（3）存在．在△ODQ中，
（Ⅰ）若DO=DQ，
∵A（-6，0），D（-3，0），
∴AD=OD=DQ=3．
∴△AQO是直角三角形．
∴Rt△AOQ∽Rt△ACO，
∴

S△AOQ

S△SCO

=(

AO

AC

)2，
由（1）可知AC=10，S_△ACO=24，
又∵AO=6，
∴S_△AOQ=

216

25

，
作QM⊥x轴（OA），垂足为点M．
则S_△AOQ=

1

2

×6×QM=

216

25

，
∴QM=

72

25

，
即点Q的纵坐标为

72

25

，
由-

2

3

(x+2)2+

32

3

=

72

25

，
解得x1=-2-

8 3

5

，x2=-2+

8 3

5

，
此时，点P的坐标为：P₁（-2-

8 3

5

，

72

25

）或P₂（-2+

8 3

5

，

72

25

）．
（Ⅱ）若QO=QD，
则QM是等腰△OQD底边上的中线．
∴OM=

1

2

OD=

3

2

，
∴AM=

9

2

，
由于Rt△AMQ∽Rt△AOC，
∴

AM

AO

=

QM

CO

，
即

9 2

6

=

QM

8

，解得QM=6即点Q的纵坐标为6．
由-

2

3

(x+2)2+8=6，
解得x3=-2-

3

，x₄=-2+

3

，
此时点P的坐标为：P₃（-2-

3

，6）或P₄（-2+

3

，6）．
（Ⅲ）若OD=OQ，则OQ=3，
∵点O到AC的距离是

6×8

10

=4.8，而OQ=3＜4.8，此时不存在这样的直线l，使△ODQ是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODQ是等腰三角形．点P的坐标为：P₁（-2-

8 3

5

，

72

25

）或P₂（-2+

8 3

5

，

72

25

）或P₃（-2-

3

，6）或P₄（-2+

3

，6）．
解：（1）解方程x²-10x+16=0得x₁=2，x₂=8．
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴点B的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，8）．
又∵抛物线y=ax²+bx+c的对称轴是直线x=-2，
∴可设抛物线的表达式为y=a（x+2）²+k．
∵点B（2，0），C（0，8）在抛物线上，
解得a=-

2

3

，k=

32

3

，
∴所求抛物线的表达式为y=-

2

3

(x+2)2+

32

3

=-

2

3

x2-

8

3

x+8．

（2）设点E的坐标为（m，0），过点F作FG⊥x轴（AB），垂足为点G．
由（1）可得，点A的坐标为（-6，0）．
∴AB=8，EB=2-m．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴

BE

BA

=

FG

CO

，
即

2-m

8

=

FG

8

，
∴FG=2-m，
∴S=S_△BCE-S_△BFE=

1

2

(2-m)×8-

1

2

(2-m)×(2-m)=-

1

2

(m2+4m-12)=-

1

2

(m+2)2+8．
自变量m的取值范围是-6＜m＜2，
∴当m=-2时，S有最大值，S最大值=8．
∴点E的坐标为（-2，0）．

（3）存在．在△ODQ中，
（Ⅰ）若DO=DQ，
∵A（-6，0），D（-3，0），
∴AD=OD=DQ=3．
∴△AQO是直角三角形．
∴Rt△AOQ∽Rt△ACO，
∴

S△AOQ

S△SCO

=(

AO

AC

)2，
由（1）可知AC=10，S_△ACO=24，
又∵AO=6，
∴S_△AOQ=

216

25

，
作QM⊥x轴（OA），垂足为点M．
则S_△AOQ=

1

2

×6×QM=

216

25

，
∴QM=

72

25

，
即点Q的纵坐标为

72

25

，
由-

2

3

(x+2)2+

32

3

=

72

25

，
解得x1=-2-

8 3

5

，x2=-2+

8 3

5

，
此时，点P的坐标为：P₁（-2-

8 3

5

，

72

25

）或P₂（-2+

8 3

5

，

72

25

）．
（Ⅱ）若QO=QD，
则QM是等腰△OQD底边上的中线．
∴OM=

1

2

OD=

3

2

，
∴AM=

9

2

，
由于Rt△AMQ∽Rt△AOC，
∴

AM

AO

=

QM

CO

，
即

9 2

6

=

QM

8

，解得QM=6即点Q的纵坐标为6．
由-

2

3

(x+2)2+8=6，
解得x3=-2-

3

，x₄=-2+

3

，
此时点P的坐标为：P₃（-2-

3

，6）或P₄（-2+

3

，6）．
（Ⅲ）若OD=OQ，则OQ=3，
∵点O到AC的距离是

6×8

10

=4.8，而OQ=3＜4.8，此时不存在这样的直线l，使△ODQ是等腰三角形．
综上所述，存在这样的直线l，使得△ODQ是等腰三角形．点P的坐标为：P₁（-2-

8 3

5

，

72

25

）或P₂（-2+

8 3

5

，

72

25

）或P₃（-2-

3

，6）或P₄（-2+

3

，6）．