试题

如图，已知顶点为P的抛物线y=

1

2

x2+bx+c经过点A（-3，6），并x轴交于B（-1，0），C两点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）求四边形ABPC的面S；
（3）试判断四边形ABPC的形状，并说明理由．

解：（1）把A、B两点的坐标代入解析式得到

1 2 ×9-3b+c=6 1 2 ×1-b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 3 2

所以，抛物线的解析式为y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）由抛物线解析式易得C（3，0），顶点P（1，-2），
S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC=

1

2

BC·y_A+

1

2

BC·|y_p|=

1

2

（3+1）×6+

1

2

（3+1）×2=16，

（3）四边形ABPC是直角梯形．理由如下：
如图，过点A和点P分别作x轴的垂线段AE和PF，
又∵PB=PC
∴BF=CF
又∵PF=|y_p|=2，BC=4
∴PF=

1

2

BC
∴△PBC是直角三角形，且∠BPC=90°
∴∠PCB=45°
在直角三角形△AEC中，AE=|y_A|=6，CE=x_c-x_a=3-（-3）=6
∴AE=CE
∴∠ACE=45°
∴∠PCA=∠PCB+∠ACE=90°
∴∠PCA+∠BPC=180°
∴BP∥AC
又∠BPC=90°
∴四边形ABPC是直角梯形．
解：（1）把A、B两点的坐标代入解析式得到

1 2 ×9-3b+c=6 1 2 ×1-b+c=0

，
解得

b=-1 c=- 3 2

所以，抛物线的解析式为y=

1

2

x²-x-

3

2

；

（2）由抛物线解析式易得C（3，0），顶点P（1，-2），
S_{四边形ABPC}=S_△ABC+S_△PBC=

1

2

BC·y_A+

1

2

BC·|y_p|=

1

2

（3+1）×6+

1

2

（3+1）×2=16，

（3）四边形ABPC是直角梯形．理由如下：
如图，过点A和点P分别作x轴的垂线段AE和PF，
又∵PB=PC
∴BF=CF
又∵PF=|y_p|=2，BC=4
∴PF=

1

2

BC
∴△PBC是直角三角形，且∠BPC=90°
∴∠PCB=45°
在直角三角形△AEC中，AE=|y_A|=6，CE=x_c-x_a=3-（-3）=6
∴AE=CE
∴∠ACE=45°
∴∠PCA=∠PCB+∠ACE=90°
∴∠PCA+∠BPC=180°
∴BP∥AC
又∠BPC=90°
∴四边形ABPC是直角梯形．