题目:
如图,平面直角坐标系中,矩形OABC的两顶点A,C坐标分别为(8,0)(0,4),将矩形沿对角线OB按图中方式折叠,此时A点落在A′处,且OA′与BC边交于点D.
(1)求过点O,D,A的抛物线的解析式;
(2)在(1)中的抛物线对称轴上有一动点P,当点P运动到什么位置时,△PAA′的周长最小?(请用P点的坐标表示P点的位置,写出过程)
(3)在(1)中的抛物线对称轴上是否存在一点Q,使得以A、D、Q三点为顶点的三角形是直角三角形?若存在,求出Q点坐标;若不存在,请说明理由.
答案
解:(1)根据折叠的性质知:∠DA′B=∠OAB=90°,A′B=AB=4;
∵OC=A′B,∠DA′B=∠DCO=90°,∠ODC=∠BDA′,
∴△OCD≌△BA′D,
∴CD=A′D;
设CD=A′D=x,则BD=8-x;
Rt△A′BD中,由勾股定理得:x
2+4
2=(8-x)
2,
解得x=3;
故D(3,4);
设抛物线的解析式为:y=ax(x-8)
2,
则有:3a(3-8)=4,
a=-
;
∴y=-
x(x-8)
2=-
x
2+
x.

(2)过A′作x轴的垂线,交BC于M,交OA于N;
在Rt△A′BD中,A′M⊥BD,则:
A′M=A′D·A′B÷BD=
,
DM=A′D
2÷BD=
;
故CM=
,A′N=
,A′(
,
);
△A′AP中,AA′的长为定值,若周长最小,那么PA+PA′最小;
由于O、A关于抛物线的对称轴对称,则点P必为直线OA′与抛物线对称轴的交点;
易求得直线OA′:y=
x,
抛物线对称轴:x=4;
当x=4时,y=
,即P(4,
).
(3)假设存在符合条件的Q点,则有:
①D为△ADQ的直角顶点;
易求得直线AD的斜率:k=
=-
,
所以设直线DQ:y=
x+h,
则有:
×3+h=4,
解得h=
,
即y=
x+
,
当x=4时,y=
;
故Q(4,
);
②A为△ADQ的直角顶点,同①可求得Q(4,-5);
③Q为△ADQ的直角顶点,设Q(4,m),
则有:
×=-1,
即m
2-4m-4=0;
解得m=2±2
;
即Q(4,2+2
)或(4,2-2
);
综上可知:存在符合条件的Q点,且坐标为:
Q(4,-5)或(4,
)或(4,2+2
)或(4,2-2
).
解:(1)根据折叠的性质知:∠DA′B=∠OAB=90°,A′B=AB=4;
∵OC=A′B,∠DA′B=∠DCO=90°,∠ODC=∠BDA′,
∴△OCD≌△BA′D,
∴CD=A′D;
设CD=A′D=x,则BD=8-x;
Rt△A′BD中,由勾股定理得:x
2+4
2=(8-x)
2,
解得x=3;
故D(3,4);
设抛物线的解析式为:y=ax(x-8)
2,
则有:3a(3-8)=4,
a=-
;
∴y=-
x(x-8)
2=-
x
2+
x.

(2)过A′作x轴的垂线,交BC于M,交OA于N;
在Rt△A′BD中,A′M⊥BD,则:
A′M=A′D·A′B÷BD=
,
DM=A′D
2÷BD=
;
故CM=
,A′N=
,A′(
,
);
△A′AP中,AA′的长为定值,若周长最小,那么PA+PA′最小;
由于O、A关于抛物线的对称轴对称,则点P必为直线OA′与抛物线对称轴的交点;
易求得直线OA′:y=
x,
抛物线对称轴:x=4;
当x=4时,y=
,即P(4,
).
(3)假设存在符合条件的Q点,则有:
①D为△ADQ的直角顶点;
易求得直线AD的斜率:k=
=-
,
所以设直线DQ:y=
x+h,
则有:
×3+h=4,
解得h=
,
即y=
x+
,
当x=4时,y=
;
故Q(4,
);
②A为△ADQ的直角顶点,同①可求得Q(4,-5);
③Q为△ADQ的直角顶点,设Q(4,m),
则有:
×=-1,
即m
2-4m-4=0;
解得m=2±2
;
即Q(4,2+2
)或(4,2-2
);
综上可知:存在符合条件的Q点,且坐标为:
Q(4,-5)或(4,
)或(4,2+2
)或(4,2-2
).