试题

如图，将直角梯形OABC置于直角坐标系中，O是原点，且A、B、C的坐标分别是（8，0），（5，k），（0，k），在OA边上取动点P，连接BP，作PD⊥BP交y轴正半轴于点D，设OP=x，OD=y．
（1）当k=4时，
①求出y关于x的函数关系式；
②若△APB是等腰三角形时，求y的值；
③点D能否与C点重合，若存在，求出相应x的值，若不存在，请说明理由；
（2）当k在什么范围内，存在点D，使得PD经过点C？（直接写出结果）

解：
（1）当k=4时，B（5，4），C（0，4）；
①过B作BE⊥OA于E，则△DPO∽△PBE，
∴

OD

OP

=

PE

BE

，
即

x

y

=

4

5-y

．
∴y=-

1

4

x²+

5

4

x．
②当BP=AB时，AE=PE，
即5-y=8-5，得y=2．
当AP=AB时，在直角三角形ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理有AB=PA=5，
∴PE=5-3=2，
因此OP=BC-PE=2，即y=3．
当AP=BP时，在直角三角形BPE中，BP=AP=8-y，BE=4，PE=5-y．
根据勾股定理有：
（8-y）²=16+（5-y）²，
解得y=

23

6

．
③点D不能与C点重合．
令y=4，得-

1

4

x²+

5

4

x=4，此方程无实根．
因此点D不能C点重合．

（2）在满足0＜k≤2.5时，存在点D，使得PD经过C．
解：
（1）当k=4时，B（5，4），C（0，4）；
①过B作BE⊥OA于E，则△DPO∽△PBE，
∴

OD

OP

=

PE

BE

，
即

x

y

=

4

5-y

．
∴y=-

1

4

x²+

5

4

x．
②当BP=AB时，AE=PE，
即5-y=8-5，得y=2．
当AP=AB时，在直角三角形ABE中，AE=3，BE=4，根据勾股定理有AB=PA=5，
∴PE=5-3=2，
因此OP=BC-PE=2，即y=3．
当AP=BP时，在直角三角形BPE中，BP=AP=8-y，BE=4，PE=5-y．
根据勾股定理有：
（8-y）²=16+（5-y）²，
解得y=

23

6

．
③点D不能与C点重合．
令y=4，得-

1

4

x²+

5

4

x=4，此方程无实根．
因此点D不能C点重合．

（2）在满足0＜k≤2.5时，存在点D，使得PD经过C．