试题

如图二次函数y=

1

2

x2-2x+4的图象交y轴于点A，顶点为点B．
（1）判断点B是否在直线y=x上，并说明理由；
（2）若直线y=kx+1交y轴于点P，交直线AB于点C，若△APC为等腰三角形，求直线y=kx+1的解析式．

解：（1）已知y=

1

2

x2-2x+4=

1

2

（x-2）²+2，
故B（2，2）；
代入直线y=x中，得2=2，
所以点B在直线y=x上．

（2）由于A（0，4），B（2，2）；
故△AOB是等腰直角三角形，且∠ABO=90°；
易知：P（0，1），AP=3，
分三种情况：
①AC=PC，则PC∥OB，由于直线OB：y=x，则直线PC：y=x+1；
②AP=PC，此时AP⊥y轴，即AP∥x轴，故k=0，直线PC：y=1；
③AP=AC=3，过C作CD⊥x轴于D；
则CE=AE-AC=4

2

-3，CD=DE=4-

3 2

2

，OD=OE-DE=

3 2

2

；
故C（

3 2

2

，4-

3 2

2

），代入直线y=kx+1，
得：

3 2

2

k+1=4-

3 2

2

，k=

2

-1；
故直线PC：y=（

2

-1）x+1；
综上所述，直线y=kx+1的解析式为：y=x+1或y=1或y=（

2

-1）x+1．
解：（1）已知y=

1

2

x2-2x+4=

1

2

（x-2）²+2，
故B（2，2）；
代入直线y=x中，得2=2，
所以点B在直线y=x上．

（2）由于A（0，4），B（2，2）；
故△AOB是等腰直角三角形，且∠ABO=90°；
易知：P（0，1），AP=3，
分三种情况：
①AC=PC，则PC∥OB，由于直线OB：y=x，则直线PC：y=x+1；
②AP=PC，此时AP⊥y轴，即AP∥x轴，故k=0，直线PC：y=1；
③AP=AC=3，过C作CD⊥x轴于D；
则CE=AE-AC=4

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-3，CD=DE=4-

3 2

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，OD=OE-DE=

3 2

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；
故C（

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，4-

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），代入直线y=kx+1，
得：

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k+1=4-

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，k=

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-1；
故直线PC：y=（

2

-1）x+1；
综上所述，直线y=kx+1的解析式为：y=x+1或y=1或y=（

2

-1）x+1．