试题

题目：
青果学院（2006·江西）一条抛物线y=
1
4
x2+mx+n经过点（0，
3
2
）与（4，
3
2
）．
（1）求这条抛物线的解析式，并写出它的顶点坐标；
（2）现有一半径为1，圆心P在抛物线上运动的动圆，当⊙P与坐标轴相切时，求圆心P的坐标．
答案
解：（1）由抛物线过（0，
3
2
），（4，
3
2
）两点，
得
n=
3
2
1
4
×42+4m+n=
3
2
，
解得
m=-1
n=
3
2
．
∴抛物线的解析式是：y=
1
4
x2-x+
3
2
，（3分）
由y=
1
4
x2-x+
3
2
=
1
4
（x-2）2+
1
2
，得抛物线的顶点（2，
1
2
）；

（2）设点P的坐标为（x0，y0）
①当圆P与y轴相切时，有|x0|=1，
∴x0=±1
由x0=1，得y0=
1
4
×1-1+
3
2
=
3
4

由x0=-1，得y0=
1
4
×（-1）2-（-1）+
3
2
=
11
4

此时，点P的坐标为P1（1，
3
4
），P2（-1，
11
4
）；
②当圆P与x轴相切时，有|y0|=1
∵抛物线的开口向上，顶点在x轴的上方，y0＞0，∴y0=1
由y0=1，得
1
4
x02-x0+
3
2
=1
解得x0=2±
2

此时，点P的坐标为P1（2-
2
，1），P4（2+
2
，1）
综上所述，圆心P的坐标为P1（1，
3
4
），P2（-1，
11
4
），P3（2-
2
，1），P4（2+
2
，1）．
解：（1）由抛物线过（0，
3
2
），（4，
3
2
）两点，
得
n=
3
2
1
4
×42+4m+n=
3
2
，
解得
m=-1
n=
3
2
．
∴抛物线的解析式是：y=
1
4
x2-x+
3
2
，（3分）
由y=
1
4
x2-x+
3
2
=
1
4
（x-2）2+
1
2
，得抛物线的顶点（2，
1
2
）；

（2）设点P的坐标为（x0，y0）
①当圆P与y轴相切时，有|x0|=1，
∴x0=±1
由x0=1，得y0=
1
4
×1-1+
3
2
=
3
4

由x0=-1，得y0=
1
4
×（-1）2-（-1）+
3
2
=
11
4

此时，点P的坐标为P1（1，
3
4
），P2（-1，
11
4
）；
②当圆P与x轴相切时，有|y0|=1
∵抛物线的开口向上，顶点在x轴的上方，y0＞0，∴y0=1
由y0=1，得
1
4
x02-x0+
3
2
=1
解得x0=2±
2

此时，点P的坐标为P1（2-
2
，1），P4（2+
2
，1）
综上所述，圆心P的坐标为P1（1，
3
4
），P2（-1，
11
4
），P3（2-
2
，1），P4（2+
2
，1）．
考点梳理
二次函数综合题．
（1）将已知点的坐标代入抛物线中即可得出二次函数的解析式．进而可求出抛物线的顶点坐标；
（2）本题要分两种情况进行讨论：
①当圆与y轴相切时，那么圆心的横坐标的绝对值为1，可将其横坐标（分正负两个）代入抛物线的解析式中，即可求出P点的坐标；
②当圆与x轴相切时，那么圆心的纵坐标的绝对值为1，然后仿照①的方法即可求出P点的坐标．
本题主要考查了二次函数解析式的确定以及切线的判定，要注意的是（2）题中要分与x轴相切和与y轴相切两种情况进行讨论，不要漏解．
压轴题．
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