试题

（2006·临汾）如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠A=45°，AB=10cm，CD=4cm．等腰直角三角形PMN的斜边MN=10cm，A点与N点重合，MN和AB在一条直线上，设等腰梯形ABCD不动，等腰直角三角形PMN沿AB所在直线以1cm/s的速度向右移动，直到点N与点B重合为止．
（1）等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分的形状由形变化为形；
（2）设当等腰直角三角形PMN移动x（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积为y（cm²），求y与x之间的函数关系式；
（3）当x=4（s）时，求等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积．

解：（1）等腰直角三角形；等腰梯形（答出三角形，梯形也给分）．（2分）


（2）当D点在PN上时，DN∥BC，NA=AB-CD=10-4=6，
等腰直角三角形PMN在整个移动过程中与等腰梯形ABCD重叠部分图形的形状可分为以下两种情况：
①当0≤x≤6时，重叠部分的形状为等腰直角三角形EAN（如图①）．（3分）
此时AN=x（cm），过点E作EH⊥AB于点H，则EH平分AN，
∴EH=

1

2

AN=

1

2

x，（4分）
∴y=S_△ANE=

1

2

AN·EH=

1

2

x·

1

2

x=

1

4

x²．（6分）
②当6＜x≤10时，重叠部分的形状是等腰梯形ANED（如图②）．（7分）
此时，AN=x（cm），
∵AD=BC，∠DAF=45°，
∴∠B=∠DAF=45°
∵∠PNM=∠B=45°，
∴EN∥BC，
∵CE∥BN，
∴四边形ENBC是平行四边形，CE=BN=10-x，DE=4-（10-x）=x-6．（8分）
过点D作DF⊥AB于F，过点C作CG⊥AB于G，
则AF=BG，DF=AF=

1

2

（10-4）=3，（9分）
∴y=S_梯形ANED=

1

2

（DE+AN）·DF=

1

2

（x-6+x）×3=3x-9．（10分）

（3）当等腰直角三角形PMN移动到PN边经过点D时，移动时间为6（s），
∴当x=4（s）时，y=

1

4

x²=

1

4

×4²=4．
∴当x=4（s）时，等腰直角三角形PMN与等腰梯形ABCD重叠部分的面积是4cm²．（12分）