试题

（2006·宁德）如图（1），已知抛物线y=ax²+b与x轴交于A、B两点（A在B的左边），与y轴交于点M，点B的坐标为（4，0），点M的坐标为（0，-4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点N的坐标为（O，-3），作DN⊥y轴于点N，交抛物线于点D；直线y=-5垂直y轴于点C（0，-5）；作DF垂直直线y=-5于点F，作BE垂直直线y=-5于点E．
①求线段的长度：MC=，MN=；BE=，BN=；DF=，DN=；
②若P是这条抛物线上任意一点，猜想：该点到直线y=-5的距离PH与该点到N点的距离PN有怎样的数量关系？
（3）如图（2），将N点改为抛物线y=x²-4x+3对称轴上的一点，直线y=-5改为直线y=m（m＜-1），已知对于抛物线y=x²-4x+3上的每一点，都有该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，求m的值及点N的坐标．

解：（1）∵抛物线y=ax²+b与x轴交于A、B两点，点B的坐标为（4，0），与y轴交于点M，点M的坐标为（0，-4），
代入得：

0=16a+b -4=b

，
解得：a=

1

4

，b=-4，
∴y=

1

4

x²-4，
答：抛物线的解析式为y=

1

4

x²-4．

（2）①MC=5-4=1，MN=4-3=1，BE=|-5|=5，BN=

32+42

=5，DF=1+1=2，
y=-3代入抛物线的解析式得：-3=

1

4

x²-4，
∵x＞0，
∴x=2，
DN=2，
故答案为：1，1，5，5，2，2．

②由①可知：抛物线上每一点到直线y=-5的距离与该点到N点韵距离相等，
∴PH=PN，
答：点到直线y=-5的距离PH与该点到N点的距离PN的数量关系是PH=PN．

（3）由y=x²-4x+3得：
B点坐标为（3，0），顶点M坐标为（2，-1），
作BE垂直直线y=m于点E，
抛物线上每一点都有该点到直线y=m的距离等于该点到点N的距离，
∴BN-BE=-m，GN=2+m，
在Rt△BNG中，BN²=GN²+BG²，
解得m=-

5

4

，
GN=

3

4

，
∴m的值为-

5

4

，点N的坐标为（2，-

3

4

），
答：m的值为-

5

4

，点N的坐标为（2，-

3

4

）．