试题

（2006·沈阳）如图，在平面直角坐标系中，直线y=-

3

3

x+1分别与x轴，y轴交于点A，点B．
（1）以AB为一边在第一象限内作等边△ABC及△ABC的外接圆⊙M（用尺规作图，不要求写作法，但要保留作图痕迹）；
（2）若⊙M与x轴的另一个交点为点D，求A，B，C，D四点的坐标；
（3）求经过A，B，D三点的抛物线的解析式，并判断在抛物线上是否存在点P，使△ADP的面积等于△ADC的面积？若存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹；

（2）由直线y=-

3

3

x+1，求得点A的坐标为（

3

，0），点B的坐标为（0，1）∴在Rt△AOB中，OA=

3

，OB=1
∴AB=2，tan∠OBA=

OA

OB

=

3

∴∠OBA=60°
∴∠OAB=90°-∠OBA=30°
∵△ABC是等边三角形
∴CA=AB=2，∠CAB=60°
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°
∴点C的坐标为（

3

，2），连接BM
∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBA=

1

2

∠ABC=30°
∴∠OBM=∠OBA+∠MBA=90°
∴OB⊥BM
∴直线OB是⊙M的切线．
∴OB²=OD·OA
∴12=OD·

3

∴OD=

3

3

∴点D的坐标为（

3

3

，0）；

（3）设经过A，B，D三点的抛物线的解析式是y=a（x-

3

3

）（x-

3

）
把B（0，1）代入上式得a=1
∴抛物线的解析式是y=x²-

4

3

3

x+1
存在点P，使△ADP的面积等于△ADC的面积
点P的坐标分别为P₁（

2 3 - 21

3

，2），P₂（

2 3 + 21

3

，2）．
解：（1）如图，正确作出图形，保留作图痕迹；

（2）由直线y=-

3

3

x+1，求得点A的坐标为（

3

，0），点B的坐标为（0，1）∴在Rt△AOB中，OA=

3

，OB=1
∴AB=2，tan∠OBA=

OA

OB

=

3

∴∠OBA=60°
∴∠OAB=90°-∠OBA=30°
∵△ABC是等边三角形
∴CA=AB=2，∠CAB=60°
∴∠CAD=∠CAB+∠OAB=90°
∴点C的坐标为（

3

，2），连接BM
∵△ABC是等边三角形，
∴∠MBA=

1

2

∠ABC=30°
∴∠OBM=∠OBA+∠MBA=90°
∴OB⊥BM
∴直线OB是⊙M的切线．
∴OB²=OD·OA
∴12=OD·

3

∴OD=

3

3

∴点D的坐标为（

3

3

，0）；

（3）设经过A，B，D三点的抛物线的解析式是y=a（x-

3

3

）（x-

3

）
把B（0，1）代入上式得a=1
∴抛物线的解析式是y=x²-

4

3

3

x+1
存在点P，使△ADP的面积等于△ADC的面积
点P的坐标分别为P₁（

2 3 - 21

3

，2），P₂（

2 3 + 21

3

，2）．