试题

（2006·宿迁）如图，抛物线y=-

1

2

x²+

5

2

x-2与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C．
（1）求证：△AOC∽△COB；
（2）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D．若点P在线段AB上以每秒1个单位的速度由A向B运动，同时点Q在线段CD上也以每秒1个单位的速度由D向C运动，则经过几秒后，PQ=AC．

解：（1）在抛物线y=-

1

2

x²+

5

2

x-2上，
令y=0时，即-

1

2

x²+

5

2

x-2=0，
得x₁=1，x₂=4
令x=0时，y=-2
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2）（3分）
∴OA=1，OB=4，OC=2
∴

OA

OC

=

1

2

，

OC

OB

=

2

4

=

1

2

∴

OA

OC

=

OC

OB

又∵∠AOC=∠BOC
∴△AOC∽△COB；

（2）设经过t秒后，PQ=AC．
由题意得：AP=DQ=t，
∵A（1，0）、B（4，0）
∴AB=3
∴BP=3-t
∵CD∥x轴，点C（0，-2）
∴点D的纵坐标为-2
∵点D在抛物线y=-

1

2

x²+

5

2

x-2上
∴D（5，-2）
∴CD=5
∴CQ=5-t
①当AP=CQ，即四边形APQC是平行四边形时，PQ=AC．
t=5-t，t=2.5
②连接BD，当DQ=BP，即四边形PBDQ是平行四边形时，PQ=BD=AC．
t=3-t，t=1.5，
所以，经过2.5秒或1.5秒时，PQ=AC．
解：（1）在抛物线y=-

1

2

x²+

5

2

x-2上，
令y=0时，即-

1

2

x²+

5

2

x-2=0，
得x₁=1，x₂=4
令x=0时，y=-2
∴A（1，0），B（4，0），C（0，-2）（3分）
∴OA=1，OB=4，OC=2
∴

OA

OC

=

1

2

，

OC

OB

=

2

4

=

1

2

∴

OA

OC

=

OC

OB

又∵∠AOC=∠BOC
∴△AOC∽△COB；

（2）设经过t秒后，PQ=AC．
由题意得：AP=DQ=t，
∵A（1，0）、B（4，0）
∴AB=3
∴BP=3-t
∵CD∥x轴，点C（0，-2）
∴点D的纵坐标为-2
∵点D在抛物线y=-

1

2

x²+

5

2

x-2上
∴D（5，-2）
∴CD=5
∴CQ=5-t
①当AP=CQ，即四边形APQC是平行四边形时，PQ=AC．
t=5-t，t=2.5
②连接BD，当DQ=BP，即四边形PBDQ是平行四边形时，PQ=BD=AC．
t=3-t，t=1.5，
所以，经过2.5秒或1.5秒时，PQ=AC．