试题

（2006·宜昌）如图，点O是坐标原点，点A（n，0）是x轴上一动点（n＜0）．以AO为一边作矩形AOBC，点C在第二象限，且OB=2OA．矩形AOBC绕点A逆时针旋转90°得矩形AGDE．过点A的直线y=kx+m交y轴于点F，FB=FA．抛物线y=ax²+bx+c过点E、F、G且和直线AF交于点H，过点H作HM⊥x轴，垂足为点M．
（1）求k的值；
（2）点A位置改变时，△AMH的面积和矩形AOBC的面积的比值是否改变？说明你的理由．

解：（1）根据题意得到：E（3n，0），G（n，-n）
当x=0时，y=kx+m=m，
∴点F坐标为（0，m）
∵Rt△AOF中，AF²=m²+n²，
∵FB=AF，
∴m²+n²=（-2n-m）²，
化简得：m=-0.75n，
对于y=kx+m，当x=n时，y=0，
∴0=kn-0.75n，
∴k=0.75．

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c过点E、F、G，
∴

0=9n2a+3nb+c -n=n2a+nb+c c=-0.75n

，
解得：a=

1

4n

，b=-

1

2

，c=-0.75n，
∴抛物线为y=

1

4n

x²-

1

2

x-0.75n，
解方程组：

y= 1 4n x2- 1 2 x-0.75n y=0.75x-0.75n

，
得：x₁=5n，y₁=3n；x₂=0，y₂=-0.75n，
∴H坐标是：（5n，3n），HM=-3n，AM=n-5n=-4n，
∴△AMH的面积=0.5×HM×AM=6n²；
而矩形AOBC的面积=2n²，
∴△AMH的面积：矩形AOBC的面积=3，不随着点A的位置的改变而改变．
解：（1）根据题意得到：E（3n，0），G（n，-n）
当x=0时，y=kx+m=m，
∴点F坐标为（0，m）
∵Rt△AOF中，AF²=m²+n²，
∵FB=AF，
∴m²+n²=（-2n-m）²，
化简得：m=-0.75n，
对于y=kx+m，当x=n时，y=0，
∴0=kn-0.75n，
∴k=0.75．

（2）∵抛物线y=ax²+bx+c过点E、F、G，
∴

0=9n2a+3nb+c -n=n2a+nb+c c=-0.75n

，
解得：a=

1

4n

，b=-

1

2

，c=-0.75n，
∴抛物线为y=

1

4n

x²-

1

2

x-0.75n，
解方程组：

y= 1 4n x2- 1 2 x-0.75n y=0.75x-0.75n

，
得：x₁=5n，y₁=3n；x₂=0，y₂=-0.75n，
∴H坐标是：（5n，3n），HM=-3n，AM=n-5n=-4n，
∴△AMH的面积=0.5×HM×AM=6n²；
而矩形AOBC的面积=2n²，
∴△AMH的面积：矩形AOBC的面积=3，不随着点A的位置的改变而改变．