试题

已知关于x的一元二次方程x²+px+q+1=0的一个实数根为2．
（1）用含p的代数式表示q；
（2）求证：抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点；
（3）设抛物线y₁=x²+px+q的顶点为M，与y轴的交点为E，抛物线y₂=x²+px+q+1顶点为N，与y轴的交点为F，若四边形FEMN的面积等于2，求p的值．

解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+px+q+1=0的一个实数根为 2，
∴2²+2p+q+1=0．…（1分）
整理，得 q=-2p-5． …（2分）

（2）∵△=p²-4（q+1）=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4，
无论p取任何实数，都有（p+4）²≥0，
∴无论p取任何实数，都有 （p+4）²+4＞0．
∴△＞0．  …（3分）
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点．…（4分）

（3）∵抛物线y1=x2+px+q与抛物线y2=x2+px+q+1
的对称轴相同，都为直线x=-

p

2

，且开口大小相同，
抛物线y2=x2+px+q+1可由抛物线y1=x2+px+q
沿y轴方向向上平移一个单位得到，
（如图5所示，省略了x轴、y轴）
∴EF∥MN，EF=MN=1．
∴四边形FEMN是平行四边形． …（5分）
由题意得 S四边形FEMN=EF×|-

p

2

|=2．
解得p=±4．…（7分）
解：（1）∵关于x的一元二次方程x²+px+q+1=0的一个实数根为 2，
∴2²+2p+q+1=0．…（1分）
整理，得 q=-2p-5． …（2分）

（2）∵△=p²-4（q+1）=p²+4（2p+5）=p²+8p+20=（p+4）²+4，
无论p取任何实数，都有（p+4）²≥0，
∴无论p取任何实数，都有 （p+4）²+4＞0．
∴△＞0．  …（3分）
∴抛物线y=x²+px+q与x轴有两个交点．…（4分）

（3）∵抛物线y1=x2+px+q与抛物线y2=x2+px+q+1
的对称轴相同，都为直线x=-

p

2

，且开口大小相同，
抛物线y2=x2+px+q+1可由抛物线y1=x2+px+q
沿y轴方向向上平移一个单位得到，
（如图5所示，省略了x轴、y轴）
∴EF∥MN，EF=MN=1．
∴四边形FEMN是平行四边形． …（5分）
由题意得 S四边形FEMN=EF×|-

p

2

|=2．
解得p=±4．…（7分）