试题

将直角边长为6的等腰Rt△AOC放在如图所示的平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C、A分别在x、y轴的正半轴上，一条抛物线经过点A、C及点B（-3，0）．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上一动点，过点P作AB的平行线交AC于点E，连接AP，设点P的横坐标为x，试用含x的代数式表示△APE的面积S；
（3）在（2）的条件下，点G为第一象限内的该抛物线上的一个动点，对于S的一个确定的值，始终存在点G，满足△AGC的面积与（2）中△APE的面积相等，求符合题意的点G的横坐标的取值范围．

（1）由题意得，A（0，6），C（6，0），B（-3，0），
解：设抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-6），
解得：a=-

1

3

，
∴y=-

1

3

（x+3）（x-6），
=-

1

3

x²+x+6，

（2）如图，∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴

S△PCE

S△BCA

= 

PC2

BC2

，

S△PCE

27

=

(6-x)2

81

，
∴S_△PCE=

(x-6) 2

3

，
∴S=S_△APC-S_△PCE=-

1

3

x²+x+6，
=-

1

3

（x-

3

2

）²+

27

4

，
（当x=

3

2

时，S有最大值为

27

4

）；
故S的取值范围是：0＜S≤

27

4

，（-3＜x＜6）；
（3）设G（x，-

1

3

x²+x+6）
过G作GH∥y轴交直线AC于点H，
易得直线AC：y=-x+6，
∴H（x，-x+6）
∴GH=-

1

3

x²+x+6-（-x+6）=-

1

3

x²+2x，
∴S_△AGC=

1

2

GH·CO=-x²+6x=-（x-3）²+9，
故S△AGC的取值范围是：0＜S_△AGC≤9，（0＜x＜6）；
当S_△AGC=

27

4

时，-x²+6x=

27

4

，
解得：x₁=

3

2

，x₂=

9

2

，
∴点G的横坐标x的取值范围是0＜x≤

3

2

或

9

2

≤x＜6时．
（1）由题意得，A（0，6），C（6，0），B（-3，0），
解：设抛物线解析式为：y=a（x+3）（x-6），
解得：a=-

1

3

，
∴y=-

1

3

（x+3）（x-6），
=-

1

3

x²+x+6，

（2）如图，∵PE∥AB，
∴△PCE∽△BCA，
∴

S△PCE

S△BCA

= 

PC2

BC2

，

S△PCE

27

=

(6-x)2

81

，
∴S_△PCE=

(x-6) 2

3

，
∴S=S_△APC-S_△PCE=-

1

3

x²+x+6，
=-

1

3

（x-

3

2

）²+

27

4

，
（当x=

3

2

时，S有最大值为

27

4

）；
故S的取值范围是：0＜S≤

27

4

，（-3＜x＜6）；
（3）设G（x，-

1

3

x²+x+6）
过G作GH∥y轴交直线AC于点H，
易得直线AC：y=-x+6，
∴H（x，-x+6）
∴GH=-

1

3

x²+x+6-（-x+6）=-

1

3

x²+2x，
∴S_△AGC=

1

2

GH·CO=-x²+6x=-（x-3）²+9，
故S△AGC的取值范围是：0＜S_△AGC≤9，（0＜x＜6）；
当S_△AGC=

27

4

时，-x²+6x=

27

4

，
解得：x₁=

3

2

，x₂=

9

2

，
∴点G的横坐标x的取值范围是0＜x≤

3

2

或

9

2

≤x＜6时．