试题

如图①，边长为4cm的正方形ABCD的顶点A与坐标原点0重合，边AB在x轴上，点C在第四象限，当正方形ABCD沿x轴以1cm/秒的速度向右匀速运动，运动时间为t秒时，经过A、B两点的抛物线y=ax²+bx+c与y轴相交于E点，其顶点为M．
（1）若正方形ABCD在运动过程中，抛物线y=ax²+bx+c的顶点M保持在正方形的内部，求a的取值范围．
（2）设正方形ABCD在运动过程中，△ABE与△ABM的面积比为k，求k与运动时间为t（秒）之间的关系式．
（3）当正方形ABCD沿x轴向右运动2秒钟时，在抛物线y=ax²+bx+c上存在一个点P，使△ABP为直角三角形，且△OPA∽△OBP，求此时抛物线的解析式．

解：（1）∵A（t，0），B（t+4，0），
∴抛物线对称轴为x=t+2．
设y=a（x-t-2）²+k，
将A（t，0）代入，得k=-4a，
∴y=a（x-t-2）²-4a，
∴顶点M（t+2，-4a），
由-4a＜0，-4a＞-4，
解得：0＜a＜1．

（2）由（1）知M（t+2，-4a），E（0，at²+4at）
k=

1 2 ×4×(at2+4at)

1 2 ×4×4a

=

1

4

t2+t；

（3）∵t=2，
∴y=a（x-4）²-4a，
当y=0时，x₁=2，x₂=6，
∴OA=2，OB=6，
∵△OPA∽△OBP，
∴

OP

OB

=

OA

OP

=

AP

BP

，
∴OP=2

3

（负值舍去），

AP

BP

=

1

3

，
∵△ABP为直角三角形，AB=4，
∴AP=2，BP=2

3

=OP
作DF⊥AB于F，则OF=

1

2

OB=3，
∴PF=

OP2-OF2

=

3

，P（3，-

3

），
由P在抛物线上得，a-4a=-

3

，a=

3

3

，
∴y=

3

3

(x-4)2-

4 3

3

．

解：（1）∵A（t，0），B（t+4，0），
∴抛物线对称轴为x=t+2．
设y=a（x-t-2）²+k，
将A（t，0）代入，得k=-4a，
∴y=a（x-t-2）²-4a，
∴顶点M（t+2，-4a），
由-4a＜0，-4a＞-4，
解得：0＜a＜1．

（2）由（1）知M（t+2，-4a），E（0，at²+4at）
k=

1 2 ×4×(at2+4at)

1 2 ×4×4a

=

1

4

t2+t；

（3）∵t=2，
∴y=a（x-4）²-4a，
当y=0时，x₁=2，x₂=6，
∴OA=2，OB=6，
∵△OPA∽△OBP，
∴

OP

OB

=

OA

OP

=

AP

BP

，
∴OP=2

3

（负值舍去），

AP

BP

=

1

3

，
∵△ABP为直角三角形，AB=4，
∴AP=2，BP=2

3

=OP
作DF⊥AB于F，则OF=

1

2

OB=3，
∴PF=

OP2-OF2

=

3

，P（3，-

3

），
由P在抛物线上得，a-4a=-

3

，a=

3

3

，
∴y=

3

3

(x-4)2-

4 3

3

．