试题

已知，y=ax²+bx-3过（2，-3），与x轴交于A（-1，0），B（x₂，0），交y轴于C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点C作CD∥x轴，交抛物线于D，是否存直线y=kx+1将四边形ACDB分成面积相等的两部分，若存在，请求k的值；若不存在，请说明理由；
（3）若直线y=m（-3＜m＜0）与线段AC、BC分别交于D、E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DPE为等腰直角三角形，若存在，请求P点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵y=ax²+bx-3过（2，-3），A（-1，0），
∴

4a+2b-3=-3 a-b-3=0

，
解得a=1，b=-2，
所以抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）设直线y=kx+1与x轴交于点E，于CD交于点F，
A（-1，0），B（3，0），
E（-

1

k

，0），F（-

4

k

，-3）；
S_{四边形ACFE}=

1

2

（CF+AE）·OC=

3

2

（1-

5

K

）；
S_{四边形EFDB}=

1

2

（DF+BE）·OC=

3

2

（5+

5

K

）；
即（1-

5

K

）=（5+

5

K

），k=-

5

2

．

（3）存在点P．直线y=m与y轴交点为F（0，m），
①当DE为腰时，分别过D、E作DP₁⊥x轴于P₁，
作EP₂⊥x轴于P₂；如图，
则△DP₁E和△DEP₂均为等腰直角三角形，
又DP₁=DE=EP₂=OF=-m，又AB=x_B-x_A=3+1=4，
又△ECD∽△BCA，即

-m

4

=

3+m

3

，
即m=-

12

7

；P₁（-

3

7

，0），P₂（

9

7

，0）；
②当DE为底时，过P₃作GP₃⊥DE于G，如图，
又DG=GE=GP₃=OF=-m，由△ECD∽△BCA，

-2m

4

=

3+m

3

，
即m=-

6

5

；P₃（

3

5

，0）
综上所述，P₁（-

3

7

，0），P₂（

9

7

，0），P₃（

3

5

，0）．
解：（1）∵y=ax²+bx-3过（2，-3），A（-1，0），
∴

4a+2b-3=-3 a-b-3=0

，
解得a=1，b=-2，
所以抛物线的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）设直线y=kx+1与x轴交于点E，于CD交于点F，
A（-1，0），B（3，0），
E（-

1

k

，0），F（-

4

k

，-3）；
S_{四边形ACFE}=

1

2

（CF+AE）·OC=

3

2

（1-

5

K

）；
S_{四边形EFDB}=

1

2

（DF+BE）·OC=

3

2

（5+

5

K

）；
即（1-

5

K

）=（5+

5

K

），k=-

5

2

．

（3）存在点P．直线y=m与y轴交点为F（0，m），
①当DE为腰时，分别过D、E作DP₁⊥x轴于P₁，
作EP₂⊥x轴于P₂；如图，
则△DP₁E和△DEP₂均为等腰直角三角形，
又DP₁=DE=EP₂=OF=-m，又AB=x_B-x_A=3+1=4，
又△ECD∽△BCA，即

-m

4

=

3+m

3

，
即m=-

12

7

；P₁（-

3

7

，0），P₂（

9

7

，0）；
②当DE为底时，过P₃作GP₃⊥DE于G，如图，
又DG=GE=GP₃=OF=-m，由△ECD∽△BCA，

-2m

4

=

3+m

3

，
即m=-

6

5

；P₃（

3

5

，0）
综上所述，P₁（-

3

7

，0），P₂（

9

7

，0），P₃（

3

5

，0）．