试题

在平面直角坐标系中，给定以下五点A（-2，0）、B（1，0）、C（4，0）、D（-2，6）、E（0，-6），从五点中选取三点，使经过这三点的抛物线满足以平行于y轴的直线为对称轴．我们约定：把过三点A、E、B的抛物线表示为抛物线AEB（如图所示）．
（1）问符合条件的抛物线还有哪几条？不求解析式，请用约定的方法一一表示出来．
（2）在（1）中是否存在这样的一条抛物线，它与余下的两点所确定的直线不相交？如果存在，试求出抛物线及直线的解析式；如果不存在，请说明理由．
．

解：（1）符合条件的抛物线还有5条，
分别是抛物线AEC；抛物线CBE；抛物线DEB；抛物线DEC；抛物线DBC． 

（2）在（1）中存在抛物线DBC，它与直线AE不相交．
理由：设抛物线DBC的解析式为y=ax²+bx+c，
将D（-2，6）、B（1，0）、C（4，0）三点坐标分别代入，
得

4a-2b+c=6 a+b+c=0 16a+4b+c=0

，
解得：a=

1

3

，b=-

5

3

，c=

4

3

，
故抛物线DBC的解析式为y=

1

3

x2-

5

3

x+

4

3

，
又设直线AE的解析式为y=mx+n，
将A（-2，0），E（0，-6）两点坐标分别代入得

-2m+n=0 n=-6

，
解得m=-3，n=-6，
所以直线AE的解析式为y=-3x-6．
∵当

1

3

x²-

5

3

x+

4

3

=-3x-6，
∴当

1

3

x²+

4

3

x+

22

3

=0，
∵△=b²-4ac=

16

9

-4×

1

3

×

22

3

=-8＜0，
∴此方程没有实数根，即两函数没有交点．
解：（1）符合条件的抛物线还有5条，
分别是抛物线AEC；抛物线CBE；抛物线DEB；抛物线DEC；抛物线DBC． 

（2）在（1）中存在抛物线DBC，它与直线AE不相交．
理由：设抛物线DBC的解析式为y=ax²+bx+c，
将D（-2，6）、B（1，0）、C（4，0）三点坐标分别代入，
得

4a-2b+c=6 a+b+c=0 16a+4b+c=0

，
解得：a=

1

3

，b=-

5

3

，c=

4

3

，
故抛物线DBC的解析式为y=

1

3

x2-

5

3

x+

4

3

，
又设直线AE的解析式为y=mx+n，
将A（-2，0），E（0，-6）两点坐标分别代入得

-2m+n=0 n=-6

，
解得m=-3，n=-6，
所以直线AE的解析式为y=-3x-6．
∵当

1

3

x²-

5

3

x+

4

3

=-3x-6，
∴当

1

3

x²+

4

3

x+

22

3

=0，
∵△=b²-4ac=

16

9

-4×

1

3

×

22

3

=-8＜0，
∴此方程没有实数根，即两函数没有交点．