试题

如图，在平面直角坐标系中，已知A（0，2），B（1，0）将△AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△DEB．以A为顶点的抛物线经过点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在Y轴右侧抛物线上是否存在点P，使得以点P、O、E、D为顶点的四边形是梯形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设△DEB的外心为M，将抛物线沿X轴正方向以每秒1个单位的速度向右平移，直接写出M在抛物线内部（指抛物线与X轴所围成的部分）时t的取值范围．

解：（1）∵A（0，2），B（1，0）将△AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△DEB，
∴E点坐标为：（1，1），
∴A为顶点的抛物线经过点E的抛物线解析式为：y=ax²+c，
∴

c=2 1=a+c

，
∴

a=-1 c=2

．
∴y=-x²+2；

（2）当DE∥PB时，即P点在X轴上，
∴0=-x²+2，
解得：x=±

2

，
∴PO=

2

，
∵AO=2，
∴DE=2，
∴PO≠DE，
∴四边形EPOD是梯形，
∴在Y轴右侧抛物线上存在点P，使得以点P、O、E、D为顶点的四边形是梯形，
∴点P的坐标为：（-

2

，0）；

（3）如图所示：当△DEB的外心为M，将抛物线沿X轴正方向以每秒1个单位的速度向右平移，
∴M在抛物线内部（指抛物线与X轴所围成的部分）时t的取值范围是：2-

6

2

＜t＜2+

6

2

．
解：（1）∵A（0，2），B（1，0）将△AOB绕点B顺时针方向旋转90°得到△DEB，
∴E点坐标为：（1，1），
∴A为顶点的抛物线经过点E的抛物线解析式为：y=ax²+c，
∴

c=2 1=a+c

，
∴

a=-1 c=2

．
∴y=-x²+2；

（2）当DE∥PB时，即P点在X轴上，
∴0=-x²+2，
解得：x=±

2

，
∴PO=

2

，
∵AO=2，
∴DE=2，
∴PO≠DE，
∴四边形EPOD是梯形，
∴在Y轴右侧抛物线上存在点P，使得以点P、O、E、D为顶点的四边形是梯形，
∴点P的坐标为：（-

2

，0）；

（3）如图所示：当△DEB的外心为M，将抛物线沿X轴正方向以每秒1个单位的速度向右平移，
∴M在抛物线内部（指抛物线与X轴所围成的部分）时t的取值范围是：2-

6

2

＜t＜2+

6

2

．