试题

已知二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，且交y轴于点C．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）在图中画出这个二次函数的图象；
（3）过点C作CD∥x轴交抛物线于点D，点M为此抛物线的顶点，试确定△MCD的形状．（写出理由）

解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，
∴

1-b+c=0 9+3b+c=0

，
解得：

b=-2 c=-3

，
故此二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3，
∴与y轴的交点C的坐标为（0，-3），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标（1，-4），对称轴为直线x=1．
图象如右所示：

（3）△MCD是等腰直角三角形．理由如下：
∵C（0，-3），
∴点D（2，-3），
∵M（1，-4），
∴CD=2，CM=

2

，DM=

2

，
∴CD²=CM²+DM²，CM=DM，
∴△MCD的形状为等腰直角三角形．
解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c的图象经过A（-1，0）和B（3，0）两点，
∴

1-b+c=0 9+3b+c=0

，
解得：

b=-2 c=-3

，
故此二次函数的解析式为：y=x²-2x-3；

（2）∵y=x²-2x-3，
∴与y轴的交点C的坐标为（0，-3），
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴顶点坐标（1，-4），对称轴为直线x=1．
图象如右所示：

（3）△MCD是等腰直角三角形．理由如下：
∵C（0，-3），
∴点D（2，-3），
∵M（1，-4），
∴CD=2，CM=

2

，DM=

2

，
∴CD²=CM²+DM²，CM=DM，
∴△MCD的形状为等腰直角三角形．