试题

如左图，抛物线y=x²的顶点为P，A、B是抛物线上两点，AB∥x轴，四边形ABCD为矩形，CD边经过点P，AB=2AD．

（1）求矩形ABCD的面积；
（2）如图，若将抛物线“y=x²”，改为抛物线“y=x²+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积；
（3）若将抛物线“y=x²+bx+c”改为抛物线“y=ax²+bx+c”，其他条件不变，请猜想矩形ABCD的面积（用a、b、c表示，并直接写出答案）．

解：（1）∵抛物线y=x²的顶点为P，
∴P（0，0）；
设DP=AD=m，则AB=CD=2m；
∴D（-m，0），A（-m，m），
由于点A在抛物线的图象上，则：
（-m）²=m，
解得m=0（舍去），m=1，
∴矩形ABCD的面积为：AB·AD=2m²=2．

（2）矩形的面积不变，仍为2，理由如下：
易知P（-

b

2

，

4c-b2

4

），
设DP=AD=m，同（1）可得A（-

b

2

-m，

4c-b2

4

+m），
代入抛物线的解析式中，得：
（-

b

2

-m）²+b（-

b

2

-m）+c=

4c-b2

4

+m，
整理得：m²=m，
解得m=0（舍去），m=1；
故矩形ABCD的面积为：AB·AD=2m²=2．

（3）矩形的面积为

2

a2

，理由如下：
设DP=AD=m，同（1）（2）可得：A（-

b

2a

-m，

4ac-b2

4a

+m）；
代入抛物线的解析式中，得：
a（-

b

2a

-m）²+b（-

b

2a

-m）+c=

4ac-b2

4a

+m，
整理得：am²=m，
解得m=0（舍去），m=

1

a

；
故矩形ABCD的面积为：AB·AD=2m²=

2

a2

．
解：（1）∵抛物线y=x²的顶点为P，
∴P（0，0）；
设DP=AD=m，则AB=CD=2m；
∴D（-m，0），A（-m，m），
由于点A在抛物线的图象上，则：
（-m）²=m，
解得m=0（舍去），m=1，
∴矩形ABCD的面积为：AB·AD=2m²=2．

（2）矩形的面积不变，仍为2，理由如下：
易知P（-

b

2

，

4c-b2

4

），
设DP=AD=m，同（1）可得A（-

b

2

-m，

4c-b2

4

+m），
代入抛物线的解析式中，得：
（-

b

2

-m）²+b（-

b

2

-m）+c=

4c-b2

4

+m，
整理得：m²=m，
解得m=0（舍去），m=1；
故矩形ABCD的面积为：AB·AD=2m²=2．

（3）矩形的面积为

2

a2

，理由如下：
设DP=AD=m，同（1）（2）可得：A（-

b

2a

-m，

4ac-b2

4a

+m）；
代入抛物线的解析式中，得：
a（-

b

2a

-m）²+b（-

b

2a

-m）+c=

4ac-b2

4a

+m，
整理得：am²=m，
解得m=0（舍去），m=

1

a

；
故矩形ABCD的面积为：AB·AD=2m²=

2

a2

．