试题

已知：如图，抛物线y=

1

3

x²-bx-3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，线段AB的垂直平分线交抛物线于N点，且点N到x轴的距离为4，
（1）求抛物线的解析式；
（2）过A、B、C三点的⊙M交y轴于另一点D，连接DM并延长交⊙M于点E，过E点的⊙M的切线分别交x轴，y轴于点F、G，求直线FG的解析式；
（3）在（2）的条件下，设P为弧CBD上的动点（P不与C、D重合），连接PA交y轴于点H，给出以下两个结论：①AH·AP为定值；②

AH

AP

为定值，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．

解：（1）由题意知：N点为抛物线的顶点，且纵坐标为-4；
则有：

4×(- 1 3 )×3-b2

4×(- 1 3 )

=-4，
解得b=±

2 3

3

；
由于抛物线的对称轴在y轴右侧，
故b=

2 3

3

不合题意，舍去；
∴该抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3．

（2）易知：A（-

3

，0），B（3

3

，0），C（0，-3），D（0，3）；
则OA=

3

，OB=3

3

，OC=3，OD=3；
Rt△OAC中，OA=

3

，OC=3，则∠OAC=60°，∠OCA=30°；
同理可证：∠ODM=∠OCA=∠OBC=30°，
∴∠ACB=90°，AB为⊙M的直径；
∵CE过点M，则CE是⊙M的直径，
∴连接CE，那么∠DCE=90°，
故CE∥x轴，C、E关于抛物线的对称轴对称，
则E（2

3

，-3）；
已证∠ODM=∠OCA=30°，则AC∥DE，
而∠ACB=90°，
所以DE⊥BC；
∵EF是⊙M的切线，
∴CE⊥FG，
故FG∥BC；
由B（3

3

，0），C（0，-3），易求得直线BC：y=

3

3

x-3，
设直线FG的解析式为：y=

3

3

x+h，将E点坐标代入上式，得：

3

3

×2

3

+h=-3，h=-5；
∴直线FG的解析式为：y=

3

3

x-5．

（3）∵D（0，-3），C（0，3），A（-

3

，0），
∴OC=OD=3，OA=

3

；
设AH=x，AP=y；
在Rt△AOH中，由勾股定理可得：OH=

x2-3

；
由相交弦定理知：AH·HP=DH·CH，即：
x（y-x）=（3+

x2-3

）（3-

x2-3

），
整理得：xy=12．
故①的结论正确，AH·AP为定值，其值为12．
解：（1）由题意知：N点为抛物线的顶点，且纵坐标为-4；
则有：

4×(- 1 3 )×3-b2

4×(- 1 3 )

=-4，
解得b=±

2 3

3

；
由于抛物线的对称轴在y轴右侧，
故b=

2 3

3

不合题意，舍去；
∴该抛物线的解析式为：y=

1

3

x²-

2 3

3

x-3．

（2）易知：A（-

3

，0），B（3

3

，0），C（0，-3），D（0，3）；
则OA=

3

，OB=3

3

，OC=3，OD=3；
Rt△OAC中，OA=

3

，OC=3，则∠OAC=60°，∠OCA=30°；
同理可证：∠ODM=∠OCA=∠OBC=30°，
∴∠ACB=90°，AB为⊙M的直径；
∵CE过点M，则CE是⊙M的直径，
∴连接CE，那么∠DCE=90°，
故CE∥x轴，C、E关于抛物线的对称轴对称，
则E（2

3

，-3）；
已证∠ODM=∠OCA=30°，则AC∥DE，
而∠ACB=90°，
所以DE⊥BC；
∵EF是⊙M的切线，
∴CE⊥FG，
故FG∥BC；
由B（3

3

，0），C（0，-3），易求得直线BC：y=

3

3

x-3，
设直线FG的解析式为：y=

3

3

x+h，将E点坐标代入上式，得：

3

3

×2

3

+h=-3，h=-5；
∴直线FG的解析式为：y=

3

3

x-5．

（3）∵D（0，-3），C（0，3），A（-

3

，0），
∴OC=OD=3，OA=

3

；
设AH=x，AP=y；
在Rt△AOH中，由勾股定理可得：OH=

x2-3

；
由相交弦定理知：AH·HP=DH·CH，即：
x（y-x）=（3+

x2-3

）（3-

x2-3

），
整理得：xy=12．
故①的结论正确，AH·AP为定值，其值为12．