试题

己知，如图在直角坐标系中，矩形OABC的对角线AC所在直线的解析式为y=-

3

3

+1．
（1）求线段AC的长和∠ACO的度数；
（2）动点P从点C开始在线段CO上以每秒

3

个单位长度的速度向点O移动，动点Q从点O开始在线段OA上以每秒1个单位长度的速度向点A移动，（P、Q两点同时开始移动）设P、Q移动的时间为t秒．
①设△BPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最小值；
②是否存在这样的时刻t，使得△OPQ与△BCP相似，并说明理由；
（3）在坐标平面内存在这样的点M，使得△MAC为等腰三角形且底角为30°，写出所有符合要求的点M的坐标．

解：（1）令x=0得y=-

3

3

×0+1=1
∴A点坐标为（0，1）
令y=0得0=-

3

3

×x+1=1
∴x=

3

C点坐标为（

3

，0）
∴AC=

OA2+OC2

=2
在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO=

OA

OC

=

1

3

=

3

3

∴∠ACO=30°

（2）P、Q两点同时开始移动t秒时
①∵OQ=t，PC=

3

t
∴S_△POQ=

1

2

×|OP|×|OQ|=

1

2

3

（1-t）t
S_△PBC=

1

2

×|CP|×|BC|=

1

2

3

t×1
∵S_△PBQ=S-S_△POQ-S_△PBC
∴S_△PBQ=

3

2

(t-

1

2

)2+

3 3

8

∴当t=

1

2

时，S_△PBQ最小值为

3 3

8

．
②i假设存在△OPQ∽△CBP
∴

OP

BC

=

OQ

PC

3 (1-t)

1

=

t

3 t

∴t₁=0（舍去），t₂=

2

3

ii△OPQ∽△CPB
∴

OP

PC

=

OQ

BC

3 (1-t)

3 t

=

t

1

∴t₃=

-1+ 5

2

，t₄=

-1- 5

2

（舍去）；

（3）M₁（

3

3

，0），M₂（

2 3

3

，1），M₃（

3

，-2），M₄（2

3

，1），M₅（0，3），M₆（-

3

，0）．
解：（1）令x=0得y=-

3

3

×0+1=1
∴A点坐标为（0，1）
令y=0得0=-

3

3

×x+1=1
∴x=

3

C点坐标为（

3

，0）
∴AC=

OA2+OC2

=2
在Rt△AOC中，
∵tan∠ACO=

OA

OC

=

1

3

=

3

3

∴∠ACO=30°

（2）P、Q两点同时开始移动t秒时
①∵OQ=t，PC=

3

t
∴S_△POQ=

1

2

×|OP|×|OQ|=

1

2

3

（1-t）t
S_△PBC=

1

2

×|CP|×|BC|=

1

2

3

t×1
∵S_△PBQ=S-S_△POQ-S_△PBC
∴S_△PBQ=

3

2

(t-

1

2

)2+

3 3

8

∴当t=

1

2

时，S_△PBQ最小值为

3 3

8

．
②i假设存在△OPQ∽△CBP
∴

OP

BC

=

OQ

PC

3 (1-t)

1

=

t

3 t

∴t₁=0（舍去），t₂=

2

3

ii△OPQ∽△CPB
∴

OP

PC

=

OQ

BC

3 (1-t)

3 t

=

t

1

∴t₃=

-1+ 5

2

，t₄=

-1- 5

2

（舍去）；

（3）M₁（

3

3

，0），M₂（

2 3

3

，1），M₃（

3

，-2），M₄（2

3

，1），M₅（0，3），M₆（-

3

，0）．