试题

如图，二次函数y=ax²+bx的顶点为A（1，1），与x轴的一个交点为B，双曲线y=

k

x

经过平行四边形ABCD的两个顶点C、D，其中点D在该抛物线的对称轴上
（1）求点B的坐标和线段CD的长：
（2）求该反比例函数的解析式．

解：（1）∵二次函数y=ax²+bx的顶点为A（1，1），
∴-

b

2a

=1，∴b=-2a，
∵

4ac-b2

4a

=1，即

-b2

4a

=1，
∴

-(2a)2

4a

=

-4a2

4a

=-a=1，
解得：a=-1，
故b=-2×（-1）=2，
∴二次函数解析式为：y=-x²+2x；
当y=0，则0=-x²+2x；
解得：x₁=0，x₂=2，
故图象与x轴的一个交点B坐标为（2，0），
延长DA到x轴一点E，∵点D在该抛物线的对称轴上，
∴AE⊥OB，
∵顶点为A（1，1），
∴AE=EO=1，∵BO=2，
∴BE=1，
∴AB=

2

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=

2

；

（2）过点C作CF⊥AD于点F，
由题意得出：BC∥AD，
∵AE⊥BO，AE=BE=1，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=∠CDF=45°，
∴DF=FC=1，
设C点坐标为：（2，h），则D点坐标为：（1，h+1），
将两点分别代入y=

k

x

得：

h+1=k h= k 2

，
解得：

h=1 k=2

，
故该反比例函数的解析式为：y=

2

x

．
解：（1）∵二次函数y=ax²+bx的顶点为A（1，1），
∴-

b

2a

=1，∴b=-2a，
∵

4ac-b2

4a

=1，即

-b2

4a

=1，
∴

-(2a)2

4a

=

-4a2

4a

=-a=1，
解得：a=-1，
故b=-2×（-1）=2，
∴二次函数解析式为：y=-x²+2x；
当y=0，则0=-x²+2x；
解得：x₁=0，x₂=2，
故图象与x轴的一个交点B坐标为（2，0），
延长DA到x轴一点E，∵点D在该抛物线的对称轴上，
∴AE⊥OB，
∵顶点为A（1，1），
∴AE=EO=1，∵BO=2，
∴BE=1，
∴AB=

2

，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=

2

；

（2）过点C作CF⊥AD于点F，
由题意得出：BC∥AD，
∵AE⊥BO，AE=BE=1，
∴∠ABE=45°，
∴∠ABC=∠CDF=45°，
∴DF=FC=1，
设C点坐标为：（2，h），则D点坐标为：（1，h+1），
将两点分别代入y=

k

x

得：

h+1=k h= k 2

，
解得：

h=1 k=2

，
故该反比例函数的解析式为：y=

2

x

．