试题

已知二次函数y=-

1

2

x2+mx+

3

2

的图象经过点A（-3，-6），并且该抛物线与x轴交于B、C两点，与y轴的交点为E，P为抛物线的顶点．如图所示．
（1）求这个二次函数表达式．
（2）设点D为线段OC上的一点，且满足∠DPC=∠BAC，说明直线PC与直线AC的位置关系，并求出点D的坐标．
（3）在（1）中的抛物线上是否存在一点F，使S_△BCF=

3

4

S_△BCP？若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵点A（-3，-6）在抛物线上，
∴-6=-

1

2

×9-3m+

3

2

，
解得m=1，
∴所求二次函数的表达式为y=-

1

2

x²+x+

3

2

；
（2）∵y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2，
∴P点坐标为（1，2），
如图，设点D坐标为（a，0），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q，
令y=0得-

1

2

x²+x+

3

2

=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴B点坐标为（-1，0），C点坐标为（3，0）
∵P（1，2），A（-3，-6），
∴PH=HC=2，QA=QC=6，
∴△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，
∴∠PCH=45°，∠ACQ=45°，
∴∠PCA=90°，
∴PC⊥CA；
∵∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB，
∴△PDC∽Rt△ABC，
∴

DC

BC

=

PC

AC

，即

3-a

4

=

2 2

6 2

，解得a=

5

3

，
∴D坐标为（

5

3

，0）；
（3）存在．
∵S_△BCP=

1

2

×4×2=4，
而S_△BCF=

3

4

S_△BCP，
∴S_△BCF=3，
设F点坐标为（x，y）
∴

1

2

×4×|y|=3，
∴y=

3

2

或-

3

2

，
当y=

3

2

时，-

1

2

x²+x+

3

2

=

3

2

，解得x₁=0，x₂=2；
当y=-

3

2

时，-

1

2

x²+x+

3

2

=-

3

2

，解得x₁=1+

7

，x₂=1-

7

，
∴F（0，

3

2

）或（2，

3

2

）或（1+

7

，-

3

2

）或（1-

7

，-

3

2

）．
解：（1）∵点A（-3，-6）在抛物线上，
∴-6=-

1

2

×9-3m+

3

2

，
解得m=1，
∴所求二次函数的表达式为y=-

1

2

x²+x+

3

2

；
（2）∵y=-

1

2

x²+x+

3

2

=-

1

2

（x-1）²+2，
∴P点坐标为（1，2），
如图，设点D坐标为（a，0），过点P作PH⊥x轴，垂足为H，
过点A作AQ⊥x轴，垂足为Q，
令y=0得-

1

2

x²+x+

3

2

=0，解得x₁=-1，x₂=3，
∴B点坐标为（-1，0），C点坐标为（3，0）
∵P（1，2），A（-3，-6），
∴PH=HC=2，QA=QC=6，
∴△PCH和△AQC都是等腰直角三角形，
∴∠PCH=45°，∠ACQ=45°，
∴∠PCA=90°，
∴PC⊥CA；
∵∠DPC=∠BAC，∠PCD=∠ACB，
∴△PDC∽Rt△ABC，
∴

DC

BC

=

PC

AC

，即

3-a

4

=

2 2

6 2

，解得a=

5

3

，
∴D坐标为（

5

3

，0）；
（3）存在．
∵S_△BCP=

1

2

×4×2=4，
而S_△BCF=

3

4

S_△BCP，
∴S_△BCF=3，
设F点坐标为（x，y）
∴

1

2

×4×|y|=3，
∴y=

3

2

或-

3

2

，
当y=

3

2

时，-

1

2

x²+x+

3

2

=

3

2

，解得x₁=0，x₂=2；
当y=-

3

2

时，-

1

2

x²+x+

3

2

=-

3

2

，解得x₁=1+

7

，x₂=1-

7

，
∴F（0，

3

2

）或（2，

3

2

）或（1+

7

，-

3

2

）或（1-

7

，-

3

2

）．