试题

如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=-

1

2

(x-2)2+k与y轴交于点A（0，1），过点A和 x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为B．P为抛物线上一点（点P不与A、B重合），设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S．
（1）求点B的坐标．
（2）求S与m之间的函数关系式．
（3）当S=4时，求m的值．

解：（1）∵抛物线y=-

1

2

(x-2)2+k与y轴交于点A（0，1），
∴1=-

1

2

（0-2）²+k，
解得：k=3，
则抛物线解析式为：y=-

1

2

（x-2）²+3=-

1

2

x²+2x+1，
∵过点A和 x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为B，
∴1=-

1

2

（x-2）²+3，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴B点坐标为：（4，1）；

（2）当P点在AB上方时，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，
∴P点坐标为：（m，-

1

2

m²+2m+1），
由题意可得出：AB=4，P到AB的距离为：-

1

2

m²+2m+1-1=-

1

2

m²+2m，
∴S=

1

2

×4×（-

1

2

m²+2m）=-m ²+4m；
∴S与m之间的函数关系式为：S=-m ²+4m；
当P点在AB下方时，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，
∴P点坐标为：（m，-

1

2

m²+2m+1），
由题意可得出：AB=4，P到AB的距离为：1+

1

2

m²-2m-1=

1

2

m²-2m，
∴S=

1

2

×4×（

1

2

m²-2m）=m ²-4m；
∴S与m之间的函数关系式为：S=m ²-4m；

（3）当S=4时，
则4=-m ²+4m，
解得：m₁=m₂=2，
4=m ²-4m，
解得：m₃=2+2

2

，m₄=2-2

2

．
即m的值为2，2+2

2

，2-2

2

．
解：（1）∵抛物线y=-

1

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(x-2)2+k与y轴交于点A（0，1），
∴1=-

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（0-2）²+k，
解得：k=3，
则抛物线解析式为：y=-

1

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（x-2）²+3=-

1

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x²+2x+1，
∵过点A和 x轴平行的直线与抛物线的另一个交点为B，
∴1=-

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（x-2）²+3，
解得：x₁=0，x₂=4，
∴B点坐标为：（4，1）；

（2）当P点在AB上方时，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，
∴P点坐标为：（m，-

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m²+2m+1），
由题意可得出：AB=4，P到AB的距离为：-

1

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m²+2m+1-1=-

1

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m²+2m，
∴S=

1

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×4×（-

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m²+2m）=-m ²+4m；
∴S与m之间的函数关系式为：S=-m ²+4m；
当P点在AB下方时，设点P的横坐标为m，△PAB的面积为S，
∴P点坐标为：（m，-

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m²+2m+1），
由题意可得出：AB=4，P到AB的距离为：1+

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m²-2m-1=

1

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m²-2m，
∴S=

1

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×4×（

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m²-2m）=m ²-4m；
∴S与m之间的函数关系式为：S=m ²-4m；

（3）当S=4时，
则4=-m ²+4m，
解得：m₁=m₂=2，
4=m ²-4m，
解得：m₃=2+2

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，m₄=2-2

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．
即m的值为2，2+2

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，2-2

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．