试题

如图，第一象限内的点A在一反比例函数的图象上，过A作AB⊥x轴，垂足为B，连接AO，已知△AOB的面积为4．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若点A的纵坐标为4，过点A的直线与x轴交于P，且△APB与△AOB相似，求所有符合条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，过点P、O、A的抛物线能否由抛物线y=

1

4

x2经过平移得到？若能，请说明由抛物线y=

1

4

x2如何平移得到；若不能，请说明理由．

解：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

，
点A的坐标为（x，y），
∵S_△AOB=4，
∴

1

2

xy=4，
∴xy=8，
∴y=

8

x

；

（2）由题意得A（2，4），
∴B（2，0），
∵点P在x轴上，设P点坐标为（x，0），
∴∠ABO=∠ABP=90°，
∴△ABP与△ABO相似有两种情况：
①当△ABP∽△ABO时，
有

AB

AB

=

BP

BO

，
∴BP=BO=2，
∴P（4，0），
②当△PBA∽△ABO时，
有

BA

BO

=

PB

AB

，
即

4

2

=

PB

4

，
∴PB=8，
∴P（10，0）或P（-6，0）；
∴符合条件的点P坐标是（4，0）或（10，0）或（-6，0）；

（3）当点P坐标是（4，0）或（10，0）时，抛物线的开口向下，
∴不能由y=

1

4

x2的图象平移得到，
当点P坐标是（-6，0）时，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过点P（-6，0）、A（2，4）与O（0，0），
∴a=

1

4

，b=

3

2

，c=0，
∴y=

1

4

x2+

3

2

x，
∴y=

1

4

(x+3)2-

9

4

，
∴该抛物线可以由y=

1

4

x2向左平移3个单位，向下平移

9

4

个单位平移得到．
解：（1）设反比例函数的解析式为y=

k

x

，
点A的坐标为（x，y），
∵S_△AOB=4，
∴

1

2

xy=4，
∴xy=8，
∴y=

8

x

；

（2）由题意得A（2，4），
∴B（2，0），
∵点P在x轴上，设P点坐标为（x，0），
∴∠ABO=∠ABP=90°，
∴△ABP与△ABO相似有两种情况：
①当△ABP∽△ABO时，
有

AB

AB

=

BP

BO

，
∴BP=BO=2，
∴P（4，0），
②当△PBA∽△ABO时，
有

BA

BO

=

PB

AB

，
即

4

2

=

PB

4

，
∴PB=8，
∴P（10，0）或P（-6，0）；
∴符合条件的点P坐标是（4，0）或（10，0）或（-6，0）；

（3）当点P坐标是（4，0）或（10，0）时，抛物线的开口向下，
∴不能由y=

1

4

x2的图象平移得到，
当点P坐标是（-6，0）时，设抛物线解析式为y=ax²+bx+c，
∵抛物线过点P（-6，0）、A（2，4）与O（0，0），
∴a=

1

4

，b=

3

2

，c=0，
∴y=

1

4

x2+

3

2

x，
∴y=

1

4

(x+3)2-

9

4

，
∴该抛物线可以由y=

1

4

x2向左平移3个单位，向下平移

9

4

个单位平移得到．