试题

（2007·大连）已知抛物线y=ax²+x+2．
（1）当a=-1时，求此抛物线的顶点坐标和对称轴；
（2）若代数式-x²+x+2的值为正整数，求x的值；
（3）当a=a₁时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点M（m，0）；当a=a₂时，抛物线y=ax²+x+2与x轴的正半轴相交于点N（n，0）．若点M在点N的左边，试比较a₁与a₂的大小．

解：（1）当a=-1时，y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

∴抛物线的顶点坐标为：（

1

2

，

9

4

），对称轴为x=

1

2

；

（2）∵代数式-x²+x+2的值为正整数，
-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+2

1

4

≤2

1

4

，
∴-x²+x+2=1，解得x=

1± 5

2

，
或-x²+x+2=2，解得x=0或1．
∴x的值为

1- 5

2

，

1+ 5

2

，0，1；

（3）将M代入抛物线的解析式中可得：a₁m²+m+2=0；
∴a₁=

-(m+2)

m2

；
同理可得a₂=-

n+2

n2

；
a₁-a₂=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

，
∵m在n的左边，
∴m-n＜0，
∵0＜m＜n，
∴a₁-a₂=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

＜0，
∴a₁＜a₂．
解：（1）当a=-1时，y=-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+

9

4

∴抛物线的顶点坐标为：（

1

2

，

9

4

），对称轴为x=

1

2

；

（2）∵代数式-x²+x+2的值为正整数，
-x²+x+2=-（x-

1

2

）²+2

1

4

≤2

1

4

，
∴-x²+x+2=1，解得x=

1± 5

2

，
或-x²+x+2=2，解得x=0或1．
∴x的值为

1- 5

2

，

1+ 5

2

，0，1；

（3）将M代入抛物线的解析式中可得：a₁m²+m+2=0；
∴a₁=

-(m+2)

m2

；
同理可得a₂=-

n+2

n2

；
a₁-a₂=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

，
∵m在n的左边，
∴m-n＜0，
∵0＜m＜n，
∴a₁-a₂=

(mn+2m+2n)(m-n)

m2n2

＜0，
∴a₁＜a₂．