试题

（2007·大连）如图，二次函数y=ax²的图象与一次函数y=x+b的图象相交于A（-2，2）、B两点，从点A和点B分别引平行于y轴的直线与x轴分别交于C，D两点，点P（t，0），为线段CD上的动点，过点P且平行于y轴的直线与抛物线和直线分别交于R，S．
（1）求一次函数和二次函数的解析式，并求出点B的坐标；
（2）当SR=2RP时，计算线段SR的长；
（3）若线段BD上有一动点Q且其纵坐标为t+3，问是否存在t的值，使S_△BRQ=15？若存在，求t的值；若不存在，说明理由．

解：（1）由题意知点A（-2，2）在y=ax²的图象上，又在y=x+b的图象上
所以得2=a（-2）²和2=-2+b，
∴a=

1

2

，b=4．
∴一次函数的解析式为y=x+4．
二次函数的解析式为y=

1

2

x²．
由

y=x+4 y= 1 2 x2

，
解得

x=-2 y=2

或

x=4 y=8

，
所以B点的坐标为（4，8）．

（2）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x=t，

x=t y=x+4

得

x=t y=t+4

，
所以点S的坐标（t，t+4）．
由

x=t y= 1 2 x2

得

x=t y= 1 2 t2

，
所以点R的坐标（t，

1

2

t²）．
所以SR=t+4-

1

2

t²，RP=

1

2

t²．
由SR=2RP得t+4-

1

2

t²=2×

1

2

t²，
解得t=-

4

3

或t=2．
因点P（t，0）为线段CD上的动点，
所以-2≤t≤4，
所以t=-

4

3

或t=2
当t=2时，SR=2+4-

1

2

×2²=4
所以线段SR的长为

16

9

或4．

（3）存在符合题意的t．
因BQ=8-（t+3）=5-t，点R到直线BD的距离为4-t，
所以S_△BRQ=

1

2

（5-t）（4-t）=15．
解得t=-1或t=10．
因为-2≤t≤4，
所以t=-1．
解：（1）由题意知点A（-2，2）在y=ax²的图象上，又在y=x+b的图象上
所以得2=a（-2）²和2=-2+b，
∴a=

1

2

，b=4．
∴一次函数的解析式为y=x+4．
二次函数的解析式为y=

1

2

x²．
由

y=x+4 y= 1 2 x2

，
解得

x=-2 y=2

或

x=4 y=8

，
所以B点的坐标为（4，8）．

（2）因过点P（t，0）且平行于y轴的直线为x=t，

x=t y=x+4

得

x=t y=t+4

，
所以点S的坐标（t，t+4）．
由

x=t y= 1 2 x2

得

x=t y= 1 2 t2

，
所以点R的坐标（t，

1

2

t²）．
所以SR=t+4-

1

2

t²，RP=

1

2

t²．
由SR=2RP得t+4-

1

2

t²=2×

1

2

t²，
解得t=-

4

3

或t=2．
因点P（t，0）为线段CD上的动点，
所以-2≤t≤4，
所以t=-

4

3

或t=2
当t=2时，SR=2+4-

1

2

×2²=4
所以线段SR的长为

16

9

或4．

（3）存在符合题意的t．
因BQ=8-（t+3）=5-t，点R到直线BD的距离为4-t，
所以S_△BRQ=

1

2

（5-t）（4-t）=15．
解得t=-1或t=10．
因为-2≤t≤4，
所以t=-1．