题目:
(2007·怀化)两个直角边为6的全等的等腰直角三角形Rt△AOB和Rt△CED按图1所示的位置放置,A与C重合,O与C重合.
(1)求图1中,A,B,D三点的坐标;
(2)Rt△AOB固定不动,Rt△CED沿x轴以每秒2个单位长的速度向右运动,当D点运动到与B点重合时停止,设运动x秒后Rt△CED和Rt△AOB重叠部分面积为y,求y与x之间的函数关系式;
(3)当Rt△CED以(2)中的速度和方向运动,运动时间x=4秒时Rt△CED运动到如图2所示的位置,求经过A,G,C三点的抛物线的解析式;
(4)现有一半径为2,圆心P在(3)中的抛物线上运动的动圆,试问⊙P在运动过

程中是否存在⊙P与x轴或y轴相切的情况?若存在,请求出P的坐标,若不存在,请说明理由.
答案

解:(1)A(0,6),B(6,0),D(-6,0).(2分)
(2)当0≤x<3时,位置如图A所示,
作GH⊥DB,垂足为H,可知:OE=2x,EH=x,
DO=6-2x,DH=6-x,
∴y=2S
梯形IOHG=2(S
△GHD-S
△IOD)
=2[
(6-x)
2-
(6-2x)
2]
=2(
-x
2+6x)
=-3x
2+12x(3分)
当3≤x≤6时,位置如图B所示.
可知:DB=12-2x
∴y=S
△DGB=
(DB)2=
[(12-2x)]
2=x
2-12x+36(4分)
(求梯形IOHG的面积及△DGB的面积时只要所用方法适当,所得结论正确均可给分)
∴y与x的函数关系式为:
y= | -3x2+12x(0≤x<3) | x2-12x+36(3≤x≤6) |
| |
;(5分)
(3)图B中,作GH⊥OE,垂足为H,
当x=4时,OE=2x=8,DB=12-2x=4,
∴GH=DH=
DB=2,OH=6-HB=6-
,DB=6-2=4
∴可知A(0,6),G(4,2),C(8,6),6分
∴经过A,G,C三点的抛物线的解析式为:y=
(x-4)
2+2=
-2x+6;(7分)
(4)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况,
设P点坐标为(x
0,y
0)
当⊙P与y轴相切时,有|x
0|=2,x
0=±2,
由x
0=-2,得:y
0=11,
∴P
1(-2,11)
由x
0=2,得y
0=3,
∴P
2(2,3)
当⊙P与x轴相切时,有|y
0|=2
y=
(x-4)
2+2>0
∴y
0=2,得:x
0=4,
∴P
3(4,2)
综上所述,符合条件的圆心P有三个,
其坐标分别是:P
1(-2,11),P
2(2,3),P
3(4,2).10分(每求出一个点坐标得1分)

解:(1)A(0,6),B(6,0),D(-6,0).(2分)
(2)当0≤x<3时,位置如图A所示,
作GH⊥DB,垂足为H,可知:OE=2x,EH=x,
DO=6-2x,DH=6-x,
∴y=2S
梯形IOHG=2(S
△GHD-S
△IOD)
=2[
(6-x)
2-
(6-2x)
2]
=2(
-x
2+6x)
=-3x
2+12x(3分)
当3≤x≤6时,位置如图B所示.
可知:DB=12-2x
∴y=S
△DGB=
(DB)2=
[(12-2x)]
2=x
2-12x+36(4分)
(求梯形IOHG的面积及△DGB的面积时只要所用方法适当,所得结论正确均可给分)
∴y与x的函数关系式为:
y= | -3x2+12x(0≤x<3) | x2-12x+36(3≤x≤6) |
| |
;(5分)
(3)图B中,作GH⊥OE,垂足为H,
当x=4时,OE=2x=8,DB=12-2x=4,
∴GH=DH=
DB=2,OH=6-HB=6-
,DB=6-2=4
∴可知A(0,6),G(4,2),C(8,6),6分
∴经过A,G,C三点的抛物线的解析式为:y=
(x-4)
2+2=
-2x+6;(7分)
(4)当⊙P在运动过程中,存在⊙P与坐标轴相切的情况,
设P点坐标为(x
0,y
0)
当⊙P与y轴相切时,有|x
0|=2,x
0=±2,
由x
0=-2,得:y
0=11,
∴P
1(-2,11)
由x
0=2,得y
0=3,
∴P
2(2,3)
当⊙P与x轴相切时,有|y
0|=2
y=
(x-4)
2+2>0
∴y
0=2,得:x
0=4,
∴P
3(4,2)
综上所述,符合条件的圆心P有三个,
其坐标分别是:P
1(-2,11),P
2(2,3),P
3(4,2).10分(每求出一个点坐标得1分)