试题

（2007·龙岩）如图1，在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3．M是边AB上的动点（M不与A，B重合），MN∥BC交AC于点N，△AMN关于MN的对称图形是△PMN．设AM=x．
（1）用含x的式子表示△AMN的面积（不必写出过程）；
（2）当x为何值时，点P恰好落在边BC上；
（3）在动点M的运动过程中，记△PMN与梯形MBCN重叠部分的面积为y，试求y关于x的函数关系式；并求x为何值时，重叠部分的面积最大，最大面积是多少？

解：（1）S_△AMN=

3

8

x²（3）；

（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）
∴点M是AB中点，即当x=

1

2

AB=2时，点P恰好落在边BC上．（7分）

（3）（i）以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，易见y=

3

8

x²（8分）
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，
∴(

PE

AB

)2=

S△PEF

S△ABC

，
∴S△PEF=

3

2

(x-2)2
∴y=S△PMN-S△PEF=

3

8

x2-

3

2

(x-2)2=-

9

8

x2+6x-6
∴y=

3 8 x2(0＜x≤ 2) - 9 8 x2+6x-6(2＜x＜4)

（ii）∵当0＜x≤2时，y=

3

8

x²
∴易知y_最大=

3

8

×22=

3

2

（11分）
又∵当2＜x＜4时，y=-

9

8

x²+6x-6=-

9

8

（x-

8

3

）²+2．
∴当x=

8

3

时（符合2＜x＜4），y_最大=2，（12分）
综上所述，当x=

8

3

时，重叠部分的面积最大，其值为2．（13分）

解：（1）S_△AMN=

3

8

x²（3）；

（2）如图2，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，（4分）
又MN∥BC，∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，（5）
∴∠B=∠BPM∴AM=PM=BM（6分）
∴点M是AB中点，即当x=

1

2

AB=2时，点P恰好落在边BC上．（7分）

（3）（i）以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，易见y=

3

8

x²（8分）
②当2＜x＜4时，如图3，设PM，PN分别交BC于E，F
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4
由题意知△PEF∽△ABC，
∴(

PE

AB

)2=

S△PEF

S△ABC

，
∴S△PEF=

3

2

(x-2)2
∴y=S△PMN-S△PEF=

3

8

x2-

3

2

(x-2)2=-

9

8

x2+6x-6
∴y=

3 8 x2(0＜x≤ 2) - 9 8 x2+6x-6(2＜x＜4)

（ii）∵当0＜x≤2时，y=

3

8

x²
∴易知y_最大=

3

8

×22=

3

2

（11分）
又∵当2＜x＜4时，y=-

9

8

x²+6x-6=-

9

8

（x-

8

3

）²+2．
∴当x=

8

3

时（符合2＜x＜4），y_最大=2，（12分）
综上所述，当x=

8

3

时，重叠部分的面积最大，其值为2．（13分）