试题

（2007·娄底）经过x轴上A（-1，0）、B（3，0）两点的抛物线y=ax²+bx+c交y轴于点C，设抛物线的顶点为D，若以DB为直径的⊙G经过点C，求解下列问题：
（1）用含a的代数式表示出C，D的坐标；
（2）求抛物线的解析式；
（3）如图，当a＜0时，能否在抛物线上找到一点Q，使△BDQ为直角三角形？你能写出Q点的坐标吗？

解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）
则y=a（x²-2x-3）=a（x-1）²-4a
则点D的坐标为D（1，-4a）
点C的坐标为C（0，-3a）

（2）如图①所示，过点D作DE⊥y轴于E，如图①所示：
则有△DEC∽△COB
∴

DE

CO

=

EC

OB

∴

1

|-3a|

=

|a|

3

∴a²=1a=±1
故抛物线的解析式为y=x²-2x-3或y=-x²+2x+3；

（3）a＜0时，a=-1，抛物线y=-x²+2x+3，
这时可以找到点Q，很明显，点C即在抛物线上，
又在⊙G上，∠BCD=90°，这时Q与C点重合，点Q坐标为Q（0，3）．
如图②，若∠DBQ为90°，作QF⊥y轴于F，DH⊥x轴于H
可证Rt△DHB∽Rt△BFQ
有

DH

BF

=

HB

FQ

则点Q坐标（k，-k²+2k+3）
即

4

3-k

=

2

k2-2k-3

化简为2k²-3k-9=0
即（k-3）（2k+3）=0
解之为k=3或k=-

3

2

．
由k=-

3

2

得Q坐标：Q(-

3

2

，-

9

4

)．
若∠BDQ为90°，
如图③，延长DQ交y轴于M，
作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H
可证明△DEM∽△DHB
即

DE

DH

=

EM

HB

，
则

1

4

=

EM

2

得EM=

1

2

，点M的坐标为(0，

7

2

)DM所在的直线方程为y=

1

2

x+

7

2

则y=

1

2

x+

7

2

与y=-x²+2x+3的解为x=

1

2

，
得交点坐标Q为(

1

2

，

15

4

)
即满足题意的Q点有三个，（0，3），(-

3

2

，-

9

4

)，(

1

2

，

15

4

)．
解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）
则y=a（x²-2x-3）=a（x-1）²-4a
则点D的坐标为D（1，-4a）
点C的坐标为C（0，-3a）

（2）如图①所示，过点D作DE⊥y轴于E，如图①所示：
则有△DEC∽△COB
∴

DE

CO

=

EC

OB

∴

1

|-3a|

=

|a|

3

∴a²=1a=±1
故抛物线的解析式为y=x²-2x-3或y=-x²+2x+3；

（3）a＜0时，a=-1，抛物线y=-x²+2x+3，
这时可以找到点Q，很明显，点C即在抛物线上，
又在⊙G上，∠BCD=90°，这时Q与C点重合，点Q坐标为Q（0，3）．
如图②，若∠DBQ为90°，作QF⊥y轴于F，DH⊥x轴于H
可证Rt△DHB∽Rt△BFQ
有

DH

BF

=

HB

FQ

则点Q坐标（k，-k²+2k+3）
即

4

3-k

=

2

k2-2k-3

化简为2k²-3k-9=0
即（k-3）（2k+3）=0
解之为k=3或k=-

3

2

．
由k=-

3

2

得Q坐标：Q(-

3

2

，-

9

4

)．
若∠BDQ为90°，
如图③，延长DQ交y轴于M，
作DE⊥y轴于E，DH⊥x轴于H
可证明△DEM∽△DHB
即

DE

DH

=

EM

HB

，
则

1

4

=

EM

2

得EM=

1

2

，点M的坐标为(0，

7

2

)DM所在的直线方程为y=

1

2

x+

7

2

则y=

1

2

x+

7

2

与y=-x²+2x+3的解为x=

1

2

，
得交点坐标Q为(

1

2

，

15

4

)
即满足题意的Q点有三个，（0，3），(-

3

2

，-

9

4

)，(

1

2

，

15

4

)．