试题

题目:
(2007·深圳)如图,在平面直角坐标系中,正方形AOCB的边长为1,点D在x轴的正半轴上,青果学院且OD=OB,BD交OC于点E.
(1)求∠BEC的度数;
(2)求点E的坐标;
(3)求过B,O,D三点的抛物线的解析式.(计算结果要求分母有理化.参考资料:把分母中的根号化去,叫分母有理化.例如:
2
5
=
2
5
5
·
5
=
2
5
5

1
2
-1
=
1×(
2
+1)
(
2
-1)(
2
+1)
=
2
+1

1
3
+
5
=
5
-
3
(
5
+
3
)(
5
-
3
)
=
5
-
3
2
等运算都是分母有理化)
答案
解:(1)∴∠CBE=∠OBD=
1
2
∠OBC=
1
2
×45°=22.5°,
∴∠BEC=90°-∠CBE=90°-22.5°=67.5°;

(2)∵BC∥OD,
BC
DO
=
EC
EO

1
2
=
1-EO
EO

解得:EO=2-
2

∴点E的坐标是(0,2-
2
),

(3)设过B、O、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
∵B(-1,1),O(0,0),D(
2
,0),
a-b+c=1
c=0
2a+
2
b+c=0

解得,a=-1+
2
,b=-2+
2
,c=0,
所以所求的抛物线的解析式为y=(-1+
2
)x2+(-2+
2
)x.
解:(1)∴∠CBE=∠OBD=
1
2
∠OBC=
1
2
×45°=22.5°,
∴∠BEC=90°-∠CBE=90°-22.5°=67.5°;

(2)∵BC∥OD,
BC
DO
=
EC
EO

1
2
=
1-EO
EO

解得:EO=2-
2

∴点E的坐标是(0,2-
2
),

(3)设过B、O、D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
∵B(-1,1),O(0,0),D(
2
,0),
a-b+c=1
c=0
2a+
2
b+c=0

解得,a=-1+
2
,b=-2+
2
,c=0,
所以所求的抛物线的解析式为y=(-1+
2
)x2+(-2+
2
)x.
考点梳理
二次函数综合题.
(1)如图可知∠CBE=∠OBD=
1
2
∠OBC,易求解.
(2)利用相似三角形的性质求出OE的值,然后可求点E的坐标.
(3)设过B.O.D三点的抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,把坐标代入可得解析式.
本题考查的是二次函数的综合题,利用待定系数法求出解析式.难度中等.
综合题;压轴题.
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