题目:
(2007·宿迁)如图,圆在正方形的内部沿着正方形的四条边运动一周,并且始终保持与正方形的边相切.
(1)在图中,把圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示出来;
(2)当圆的直径等于正方形的边长一半时,该圆运动一周覆盖正方形的区域的面积是否最大?并说明理由.
答案
解:(1)圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如下:

(2)圆的直径等于正方形的边长一半时,覆盖区域的面积不是最大,理由如下:
设正方形的边长为a,圆的半径为r,覆盖区域的面积为s.
∵圆在正方形的内部,
∴0<r≤
,
由图可知:S=a
2-[(a-4r)
2+4r
2-πr
2],
=-(20-π)r
2+8ar,
=-(20-π)(r-
)
2+
,
∵0<
<
,
∴当r=
时,S有最大值,
∵
≠
,
∴圆的直径等于正方形的边长一半时,面积不是最大.
解:(1)圆运动一周覆盖正方形的区域用阴影表示如下:

(2)圆的直径等于正方形的边长一半时,覆盖区域的面积不是最大,理由如下:
设正方形的边长为a,圆的半径为r,覆盖区域的面积为s.
∵圆在正方形的内部,
∴0<r≤
,
由图可知:S=a
2-[(a-4r)
2+4r
2-πr
2],
=-(20-π)r
2+8ar,
=-(20-π)(r-
)
2+
,
∵0<
<
,
∴当r=
时,S有最大值,
∵
≠
,
∴圆的直径等于正方形的边长一半时,面积不是最大.